高校数学の「逆数型?の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「逆数型?の漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題

\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\displaystyle\frac{a_n}{2a_n+3}\) で定められる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。

解法

$$\begin{align}b_n=&\displaystyle\frac{1}{a_n}\quad とする。 \\\\ 特に&b_1=1 \\\\ b_{n+1}=&\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}\\\\ =&\displaystyle\frac{2a_n+3}{a_n} \\\\ =&\displaystyle\frac{3}{a_n}+2\\\\ =&3b_n+2 \end{align}$$
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -3\alpha+\alpha=&2 \\\\ \alpha=&-1\\\\ \left( b_{n+1}+1\right)=&3\left( b_n+1\right) \end{align}$$
ここで
$$\begin{align}c_n=&b_n+1\quad とする。 \\\\ 特に&c_1=2 \end{align}$$
$$\begin{align}c_n=&2\cdot 3^{n-1} \\\\ b_n=&2\cdot 3^{n-1}-1 \\\\ a_n=&\displaystyle\frac{1}{b_n}\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} \end{align}$$

こたえ

$$ a_n=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} $$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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