高校数学の「逆数型？の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約1分13秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「逆数型？の漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\Large \frac{a_n}{2a_n+3}\) で定められる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
解法
$$\begin{align}b_n=&\frac{1}{a_n}\quad とする。 \\\\ 特に&b_1=1 \\\\ b_{n+1}=&\frac{1}{a_{n+1}}\\\\ =&\frac{2a_n+3}{a_n} \\\\ =&\frac{3}{a_n}+2\\\\ =&3b_n+2 \end{align}$$
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -3\alpha+\alpha=&2 \\\\ \alpha=&-1\\\\ \left( b_{n+1}+1\right)=&3\left( b_n+1\right) \end{align}$$
ここで
$$\begin{align}c_n=&b_n+1\quad とする。 \\\\ 特に&c_1=2 \end{align}$$
$$\begin{align}c_n=&2\cdot 3^{n-1} \\\\ b_n=&2\cdot 3^{n-1}-1 \\\\ a_n=&\frac{1}{b_n}\\\\ =&\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} \end{align}$$
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -3\alpha+\alpha=&2 \\\\ \alpha=&-1\\\\ \left( b_{n+1}+1\right)=&3\left( b_n+1\right) \end{align}$$
ここで
$$\begin{align}c_n=&b_n+1\quad とする。 \\\\ 特に&c_1=2 \end{align}$$
$$\begin{align}c_n=&2\cdot 3^{n-1} \\\\ b_n=&2\cdot 3^{n-1}-1 \\\\ a_n=&\frac{1}{b_n}\\\\ =&\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} \end{align}$$
こたえ
$$ a_n=\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1} $$
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