実用数学技能検定の「漸化式」に関する問題を解いてみる。(公式Twitterより)

数列数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS実用数学技能検定 , 漸化式 , 数列 , 数学検定準1級

実用数学技能検定(数学検定)の公式Twitterに、【#数検にチャレンジ】というハッシュタグがあり、時々過去問が出題されることがあります。
今回は、2019年5月18日(土曜日)に実施された第53回検定の準1級の計算技能検定より一問出題されていました。
まずは問題が載り、その後答えが載るのですが、Twitterなので、途中の計算過程はすっとばされています。
この記事では、私なりの計算過程を書いてみようと思います。

問題

problem
数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の初項から第\( \ n \ \)項までの和を\( \ S_n \ \)とおきます。
\( \ 2a_n-S_n=2^n\quad \left( n=1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ \cdots\right) \ \)が成り立つとき,数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の第9項\( \ a_9 \ \)を求めなさい。
Lukia_74

Lukia

まずは、和を表す\( \ S_n \ \)が邪魔なので、消せるように式を動かしていきます。
とはいえ、せっかくですから、まずは初項を求めておきましょう。

与式を①とする。
$$\begin{align}初項 \ &a_1 \ を求める. \\ 2a_1-a_1=&2 \\ a_1=&2 \end{align}$$
$$\begin{align}2a_{n+1}-S_{n+1}=&2^{n+1} \\ 2a_{n+1}-a_{n+1}-S_n=&2\cdot 2^n \\ a_{n+1}-S_n=&2\cdot 2^n\quad \cdots② \end{align}$$

②-①をする。
$$\begin{align}a_{n+1}-S_n-2a_n+S_n=&2\cdot 2^n-2^n\\ \\ a_{n+1}-2a_n=&2^n\quad \cdots③ \\ \\③の両辺を \ 2^{n+1}で割る. \end{align}$$

$$\begin{align}\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{2a_n}{2\cdot 2^n}=&\frac{2^n}{2\cdot 2^n} \\\\ ここで, \ \frac{a_n}{2^n}=&b_n\quad とする. \\ また, \ b_1=&\frac{a_1}{2^1}=1 \\ b_{n+1}-b_n=&\frac{1}{2} \\ \\ 以上より,\lbrace b_n\rbrace \ は初項1, \ 公差\frac{1}{2} \ の等差数列.\\ b_n=&\frac{1}{2}\left( n+1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&2^nb_n \\ =&\left( n+1\right)\cdot 2^{n-1}\\ \\ a_9=&\left( 9+1\right)\cdot 2^{9-1}\\ =&2560 \end{align}$$

こたえ

$$2560$$

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Posted by Lukia_74