高校数学の「数列・漸化式?の計算の一部」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月7日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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[mathjax]

問題
\(\frac{a_{n}+1}{a_{n}-2}=\frac{3}{2}\cdot 4^{n-1}\)のとき、
\(a_{n}\) を求めよ。
ただし\(n\)は自然数とする。
Lukia_74

Lukia

大学入試センター試験などであれば、いちいち断り書きをする必要も、スペースも時間もないのですが、二次試験などではそうはいきません。
高校数学では、たいてい分母が払えるようになっているのですが、一応、「ゼロじゃないと仮定することはわかってますよ。」というアピールをするようにしましょう。
こういう細かい気づかい、社会でも必要なので。

$$\begin{align}a_{n}-2 \neq 0&\quad すなわち, \ a_{n} \neq 2 \ と仮定する。\\\\ \\\\ a_{n}+1=&\frac{3}{2}\cdot 4^{n-1}\left( a_{n}-2\right)=\frac{3}{8}\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right) \\\\ 8a_{n}+8=&3\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right)\\\\ \left( 8-3\cdot 4^n\right)a_{n}=&-6\cdot 4^n-8\\\\ \left( 3\cdot 4^n-8\right)a_{n}=&6\cdot 4^n+8\\\\ \\\\ a_{n}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \end{align}$$

Lukia_74

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見た目からして\(2\)ではないけれど、
自然数\(n\)の値によっては、成り立ってしまう(仮定が間違っている)可能性もあります。
本当に、\(a_{n}=2\) を満たす自然数\(n\)はないのか、確かめてみましょう。

$$\begin{align}\color{red}{2}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \\\\ 3\cdot 4^n-8=&3\cdot 4^n+4 \\\\ -8\color{red}{ \neq }&4\\\\ \\\\ &以上より\quad a_{n} \neq 2 \ すなわちa_{n}-2 \neq 0 \ である. \end{align}$$

こたえ

$$a_{n}=\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月7日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74