高校数学の「数列・漸化式?の計算の一部」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 数学検定2級

問題

problem

\(\frac{a_{n}+1}{a_{n}-2}=\frac{3}{2}\cdot 4^{n-1}\)のとき、
\(a_{n}\) を求めよ。
ただし\(n\)は自然数とする。
Lukia_74

Lukia

大学入試センター試験などであれば、いちいち断り書きをする必要も、スペースも時間もないのですが、二次試験などではそうはいきません。
高校数学では、たいてい分母が払えるようになっているのですが、一応、「ゼロじゃないと仮定することはわかってますよ。」というアピールをするようにしましょう。
こういう細かい気づかい、社会でも必要なので。

$$\begin{align}a_{n}-2 \neq 0&\quad すなわち, \ a_{n} \neq 2 \ と仮定する。\\ \\ a_{n}+1=&\frac{3}{2}\cdot 4^{n-1}\left( a_{n}-2\right)=\frac{3}{8}\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right) \\ 8a_{n}+8=&3\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right)\\ \left( 8-3\cdot 4^n\right)a_{n}=&-6\cdot 4^n-8\\ \left( 3\cdot 4^n-8\right)a_{n}=&6\cdot 4^n+8\\ \\ a_{n}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

見た目からして\(2\)ではないけれど、
自然数\(n\)の値によっては、成り立ってしまう(仮定が間違っている)可能性もあります。
本当に、\(a_{n}=2\) を満たす自然数\(n\)はないのか、確かめてみましょう。

$$\begin{align}\color{red}{2}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \\ 3\cdot 4^n-8=&3\cdot 4^n+4 \\ -8\color{red}{ \neq }&4\\ \\ &以上より\quad a_{n} \neq 2 \ すなわちa_{n}-2 \neq 0 \ である. \end{align}$$

こたえ


$$a_{n}=\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8}$$

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