高校数学の「数列・漸化式?の計算の一部」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
2018年12月7日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

[mathjax]
\(a_{n}\) を求めよ。
ただし\(n\)は自然数とする。

Lukia
高校数学では、たいてい分母が払えるようになっているのですが、一応、「ゼロじゃないと仮定することはわかってますよ。」というアピールをするようにしましょう。
こういう細かい気づかい、社会でも必要なので。
$$\begin{align}a_{n}-2 \neq 0&\quad すなわち, \ a_{n} \neq 2 \ と仮定する。\\\\ \\\\ a_{n}+1=&\frac{3}{2}\cdot 4^{n-1}\left( a_{n}-2\right)=\frac{3}{8}\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right) \\\\ 8a_{n}+8=&3\cdot 4^n\left( a_{n}-2\right)\\\\ \left( 8-3\cdot 4^n\right)a_{n}=&-6\cdot 4^n-8\\\\ \left( 3\cdot 4^n-8\right)a_{n}=&6\cdot 4^n+8\\\\ \\\\ a_{n}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \end{align}$$

Lukia
自然数\(n\)の値によっては、成り立ってしまう(仮定が間違っている)可能性もあります。
本当に、\(a_{n}=2\) を満たす自然数\(n\)はないのか、確かめてみましょう。
$$\begin{align}\color{red}{2}=&\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8} \\\\ 3\cdot 4^n-8=&3\cdot 4^n+4 \\\\ -8\color{red}{ \neq }&4\\\\ \\\\ &以上より\quad a_{n} \neq 2 \ すなわちa_{n}-2 \neq 0 \ である. \end{align}$$
こたえ
$$a_{n}=\frac{6\cdot 4^n+8}{3\cdot 4^n-8}$$
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Posted by Lukia_74
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