高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
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問題
\(\displaystyle\int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1\)
を満たす関数\(f\left( x\right)\)を求めよ。
を満たす関数\(f\left( x\right)\)を求めよ。
解法
$$\begin{align}f\left( t\right)&の原関数を\mathrm{F}\left( t\right) とし、\\\\ \ g\left( t\right)=&tf\left( t\right) とし、その原関数を\mathrm{G}\left( t\right)とする。\end{align}$$ $$\begin{align}与式=&x\displaystyle\int_{1}^{x} f\left( t\right) dt-\displaystyle\int_{1}^{x} tf\left( t\right) dt\\\\ =& \ x\left( \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)\right)-\mathrm{G} \left( x\right)+\mathrm{G}\left( 1\right)=x^4-2x^2+1 \ \\\\ 両辺をxで微分する。\\\\ \ \left( x\cdot \mathrm{F}\left( x\right)\right)’-\mathrm{F}\left( 1\right)\cdot x’-\mathrm{G}’\left( x\right)=&4x^3-4x\\\\ \ \mathrm{F}\left( x\right)+xf\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-xf\left( x\right)=&4x^3-4x\\\\ \ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)=&4x^3-4x\\\\ \ さらに両辺をxで微分すると、\\\\ \ f\left( x\right)=&12x^2-4\end{align}$$こたえ
$$f\left( x\right)=12x^2-4$$
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