高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年10月18日2020年9月24日数学検定準1級,積分とその応用Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準1級

$$\Large \int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1$$

問題

\(\int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1\)を満たす関数\(f\left( x\right)\)を求めよ。

解法

$$\begin{align}f\left( t\right)&の原関数を\mathrm{F}\left( t\right) とし、
\ g\left( t\right)=&tf\left( t\right) とし、その原関数を\mathrm{G}\left( t\right)とする。\end{align}$$
$$\begin{align}与式=x\int_{1}^{x} f\left( t\right) dt-\int_{1}^{x} tf\left( t\right) dt&
\ x\left( \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)\right)-\mathrm{G}\left( x\right)+\mathrm{G}\left( 1\right)=&x^4-2x^2+1 \ 両辺をxで微分する。&
\ \left( x\cdot \mathrm{F}\left( x\right)\right)’-\mathrm{F}\left( 1\right)\cdot x’-\mathrm{G}’\left( x\right)=&4x^3-4x
\ \mathrm{F}\left( x\right)+xf\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-xf\left( x\right)=&4x^3-4x
\ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)=&4x^3-4x
\ さらに両辺をxで微分すると、
\ f\left( x\right)=&12x^2-4\end{align}$$

こたえ

$$f\left( x\right)=12x^2-4$$

プロフィール

Author Profile

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。