高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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$$\Large \int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1$$

問題

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\(\int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1\)を満たす関数\(f\left( x\right)\)を求めよ。

解法


$$\begin{align}f\left( t\right)&の原関数を\mathrm{F}\left( t\right) とし、
\\ g\left( t\right)=&tf\left( t\right) とし、その原関数を\mathrm{G}\left( t\right)とする。\end{align}$$
$$\begin{align}与式=x\int_{1}^{x} f\left( t\right) dt-\int_{1}^{x} tf\left( t\right) dt&
\\ x\left( \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)\right)-\mathrm{G}\left( x\right)+\mathrm{G}\left( 1\right)=&x^4-2x^2+1 \\ 両辺をxで微分する。&
\\ \left( x\cdot \mathrm{F}\left( x\right)\right)’-\mathrm{F}\left( 1\right)\cdot x’-\mathrm{G}’\left( x\right)=&4x^3-4x
\\ \mathrm{F}\left( x\right)+xf\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-xf\left( x\right)=&4x^3-4x
\\ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)=&4x^3-4x
\\ さらに両辺をxで微分すると、
\\ f\left( x\right)=&12x^2-4\end{align}$$

こたえ


$$f\left( x\right)=12x^2-4$$

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