高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年10月18日2020年9月24日数学検定準1級,積分とその応用Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準1級

$$\Large \int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1$$

問題

\(\int_{1}^{x} \left( x-t\right)f\left( t\right) dt=x^4-2x^2+1\)を満たす関数\(f\left( x\right)\)を求めよ。

解法

$$\begin{align}f\left( t\right)&の原関数を\mathrm{F}\left( t\right) とし、
\ g\left( t\right)=&tf\left( t\right) とし、その原関数を\mathrm{G}\left( t\right)とする。\end{align}$$
$$\begin{align}与式=x\int_{1}^{x} f\left( t\right) dt-\int_{1}^{x} tf\left( t\right) dt&
\ x\left( \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)\right)-\mathrm{G}\left( x\right)+\mathrm{G}\left( 1\right)=&x^4-2x^2+1 \ 両辺をxで微分する。&
\ \left( x\cdot \mathrm{F}\left( x\right)\right)’-\mathrm{F}\left( 1\right)\cdot x’-\mathrm{G}’\left( x\right)=&4x^3-4x
\ \mathrm{F}\left( x\right)+xf\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-xf\left( x\right)=&4x^3-4x
\ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)=&4x^3-4x
\ さらに両辺をxで微分すると、
\ f\left( x\right)=&12x^2-4\end{align}$$

こたえ

$$f\left( x\right)=12x^2-4$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。