高校数学の「空間ベクトルと内分比・一直線上に3点が存在すること」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 空間ベクトル , 数学検定2級

問題

problem
四面体\(\mathrm{OABC}\)において、辺\(\mathrm{OA}\)を\(4:3\)に内分する点を\(\mathrm{P}\)、辺\(\mathrm{BC}\)を\(5:3\)に内分する点を\(\mathrm{Q}\)、線分\(\mathrm{PQ}\)の中点を\(\mathrm{M}\)とする。
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}\)とするとき、次の問に答えよ。
(1)\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{b}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{c}}\)を用いて表せ。また、\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{a}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{b}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{c}}\)を用いて表せ。
(2)\(\overrightarrow{\mathrm{AN}}=t\overrightarrow{\mathrm{AM}}\)(\(t\)は実数)となる点\(\mathrm{N}\)をとるとき、\(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\)を\(t \ , \ \overrightarrow{\mathrm{a}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{b}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{c}}\)を用いて表せ。
(3)(2)の点\(\mathrm{N}\)が平面\(\mathrm{OBC}\)上にあるとき、\(t\)の値を求めよ。
またこのとき、3点\(\mathrm{O} \ , \ \mathrm{N} \ , \ \mathrm{Q}\)は一直線上にあることを示せ。

空間図形を描いて、情報を書き込んでみる。

Lukia_74

Lukia

いつものように、簡単な空間図形を描きます。そして、わかっていること、今回ですと内分比や内分点ですね。それらの情報を書き込んでいきます。
点\(\mathrm{M}\)が線分\(\mathrm{PQ}\)を\(1:1\)に内分することで、全体の内分比が統一できますね。
(かなりすごい数になりますが気にしない・・・)


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&\frac{1}{8}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=&\frac{1}{112}\left( 32\overrightarrow{\mathrm{a}}+21\overrightarrow{\mathrm{b}}+35\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

内分比を統一してしまうと、頂点にある数字を読み取っていけばいいだけなので、楽に解けますね。

式変形をしてベクトルONを求める。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AN}}=&t\overrightarrow{\mathrm{AM}} \\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}=&t\left( \overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}\right) \\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=&t\overrightarrow{\mathrm{OM}}-t\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ =&\frac{1}{112}\left( 112-80t\right)+\frac{t}{112}\left( 21\overrightarrow{\mathrm{b}}+35\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)\\ =&\frac{1}{7}\left( 7-5t\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{t}{16}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \end{align}$$

内分比の統一は煩雑な解法のみちしるべとなる。

Lukia_74

Lukia

点\(\mathrm{N}\)が平面\(\mathrm{OBC}\)上にあるということは、
\(\overrightarrow{\mathrm{ON}}=l\overrightarrow{\mathrm{b}}+m\overrightarrow{\mathrm{c}}\)とあらわせることになります。
Lukia_74

Lukia

また、\(\overrightarrow{\mathrm{AN}}=t\overrightarrow{\mathrm{AM}}\)より、点\(\mathrm{M}\)は線分\(\mathrm{AN}\)の内分点だということがいえますね。
Lukia_74

Lukia

ちょっとずるいのですが、問題から、点\(\mathrm{N}\)は線分\(\mathrm{OQ}\)を内分すると読み取れるので、それを使って、あらかじめ確かめてしまいます。

Lukia_74

Lukia

内分比の計算からも、すでに点\(\mathrm{N}\)が線分\(\mathrm{OQ}\)の内分点であり、3点\(\mathrm{O} \ , \ \mathrm{N} \ , \ \mathrm{Q}\)が一直線上に並んでいることがわかりますね。
しかし、これは証明にはなりませんので、のちほど実際に計算して間違いないことを確かめていきましょう。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AN}}=&t\overrightarrow{\mathrm{AM}} \ より\\ 点\mathrm{M}は線分&\mathrm{AN}の内分点であることがわかる。\\ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=&\frac{5}{7}\overrightarrow{\mathrm{AN}} \\すなわち\quad \overrightarrow{\mathrm{AN}}=&\frac{7}{5}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \ より\\ \\ t=&\frac{7}{5} \end{align}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&k\overrightarrow{\mathrm{ON}} \ を満たす実数 \ k \ \left( k \neq 0\right) \ を求める。\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{AN}}=&\frac{7}{5}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \\ 5\overrightarrow{\mathrm{ON}}-5\overrightarrow{\mathrm{a}}=&7\overrightarrow{\mathrm{OM}}-7\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ 5\overrightarrow{\mathrm{ON}}=&7\overrightarrow{\mathrm{OM}}-2\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ =&\frac{7}{112}\left( 32\overrightarrow{\mathrm{a}}+21\overrightarrow{\mathrm{b}}+35\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)-2\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ 5\overrightarrow{\mathrm{ON}}=&\frac{7}{16}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)\\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=&\frac{7}{80}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \end{align}$$
仮定より、
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&k\overrightarrow{\mathrm{ON}} \\ \frac{1}{8}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=&k\cdot \frac{7}{80}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \\ \\ k=&\frac{10}{7}\\ \\ 以上より \ &\overrightarrow{\mathrm{OQ}} =\frac{10}{7}\overrightarrow{\mathrm{ON}} \ を満たすので,\\ &3点 \ \mathrm{O} \ , \ \mathrm{N} \ ,\mathrm{Q} \ は一直線上にあるといえる。 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)& \\& \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{8}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \\ & \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{1}{112}\left( 32\overrightarrow{\mathrm{a}}+21\overrightarrow{\mathrm{b}}+35\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)\\ \left( 2\right)&\\ &\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{7}\left( 7-5t\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{t}{16}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{b}}+5\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)\\ \\\left( 3\right)&\\ &t=\frac{7}{5}\\ &証明は省略 \end{align}$$

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