高校数学の「3次関数の極値と実数解」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月5日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
\( \ a \ \)を正の定数とし,\( \ f\left( x\right)=x^3-ax^2-a^2x+9a \ \) がある。
(1) \( \ f\left( x\right) \ \)の極大値は \( \ \displaystyle\frac{\color{#0004fc}{ア}}{\color{#0004fc}{イウ}}a^3+\color{#0004fc}{エ}a \ \)であり, 極小値は\( \ \color{#0004fc}{オ}a^3+\color{#0004fc}{カ}a \ \) である。

$$\begin{align}f’\left( x\right)=&3x^2-2ax-a^2 \\\\ f’\left( x\right)=&0\quad となる \ x \ を求める. \\\\ \left( x-a\right)\left( 3x+a\right)=&0\\\\ x=&a\quad ,\quad x=-\displaystyle\frac{a}{3} \end{align}$$
増減表は以下の通り.

極大値は
$$f\left( -\displaystyle\frac{a}{3}\right)=\displaystyle\frac{\color{#0004fc}{5}}{\color{#0004fc}{27}}a^3+\color{#0004fc}{9}a$$
極小値は
$$f\left( a\right)=\color{#0004fc}{-}a^3+\color{#0004fc}{9}a$$

問題(2)
\( \ f\left( x\right) \ \)の極小値を\( \ g\left( a\right) \ \)とする。
\( \ a \ \)が正の範囲で変化すると,\( \ g\left( a\right) \ \)は\( \ a=\sqrt{\color{#0004fc}{キ}} \ \)のとき,最大値\( \ \color{#0004fc}{ク}\sqrt{\color{#0004fc}{ケ}} \ \)をとる。

$$\begin{align}g\left( a\right)=&-a^3+9a \\\\ =&-a\left( a^2-9\right) \\\\ =&-a\left( a+3\right)\left( a-3\right) \quad より\end{align}$$
グラフは以下の通り.

さらに,グラフより極大値が最大値になるといえるから,
$$\begin{align}g’\left( a\right)=&-3a^2+9=0 \\\\ a=& \pm \sqrt{3} \ a \gt 0\quad より \\\\ a=&\sqrt{3}\ \\\\ a&=\sqrt{\color{#0004fc}{3}} \ のとき,\\\\ 最大値 \ &\color{#0004fc}{6}\sqrt{\color{#0004fc}{3}} \ をとる。 \end{align}$$

問題(3)
\( \ x \ \)についての方程式\( \ f\left( x\right)=0 \ \)の異なる実数の解の個数が2個のとき,\( \ a=\color{#0004fc}{コ} \ \) であり,2つの実数の解は\( \ x=\color{#0004fc}{サ}\quad ,\quad \color{#0004fc}{シス} \ \) である.

$$f\left( x\right)=0\quad が2つの異なる実数解を持つのは以下の2通り.$$
$$ⅰ)\quad 極小値が \ 0 \ のとき$$

$$\begin{align}-a^3+9a=&0 \\\\ -a\left( a+3\right)\left( a-3\right)=&0 \\\\ a=&-3 \ , \ 0 \ , \ 3\\\\ ただし,\quad a \gt &0\quad より\\\\ a=&3 \end{align}$$

$$ⅱ)\quad 極大値が \ 0 \ のとき$$

$$\begin{align}\displaystyle\frac{5}{27}a^3+9a=&0 \\\\ 実数解は\quad a=&0 \\\\ ただし,\quad a \gt &0\quad より\quad a=0\quad は不適. \end{align}$$
以上より
$$\begin{align}a=&\color{#0004fc}{3} \quad のとき,実数解の一つは, \ x=3\quad である.\\\\ &もう一つの実数解を \ x=-\alpha \ \left( \alpha \ 1は
正の実数\right) \ とする. \\\\ f\left( x\right)=&\left( x-3\right)^2\left( x+\alpha\right)\\\\ f\left( x\right)=&0\quad を解いて,\\\\ \alpha=&3\\\\ \ x=&\color{#0004fc}{3}\quad ,\quad \color{#0004fc}{-3} \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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