高校数学の「定義域の両端が動く関数の最大・最小(やさしめ)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題

\( \ a \ \)は定数とする。関数\( \ y=x^2-2x+1 \ \) \( \ \left( a \leqq x \leqq a+1\right) \ \)について、次の問に答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。

解法

Lukia_74
Lukia
定義域が移動する場合も、定義域の「軸」と放物線の軸との位置関係を意識することが大切です。
以下、5つのグラフを載せますが、線の色分けをしています。
灰色の点線:放物線の軸
い実線:定義域の右端→\( \ f\left( a+1\right) \ \) と表せる
の実線:定義域の中央(今回は、「軸」と表すことにします)
→ \(\Large f\left( \displaystyle\frac{2a+1}{2}\right)\) と表せる
の実線:定義域の左端→\( \ f\left( a\right) \ \)
以下、\( \ y=f\left( x\right) \ \) とする。

定義域の右端が軸よりも左にあるとき

定義域の右端が軸よりも左にある場合
定義域の右端が放物線の軸よりも左側にある場合、
すなわち、 \( \ a+1 \lt 1 \ \)
整理して \( \ a \lt 0 \ \) のとき
最小値:\( \ f\left( a+1\right)=a^2 \ \)
最大値:\( \ f\left( a\right)=\left( a-1\right)^2 \ \)

放物線の軸が定義域の右端と定義域の「軸」の間にあるとき

放物線の軸が定義域の右端と定義域の「軸」の間にあるとき
 放物線の軸が定義域の右端と定義域の「軸」の間にある場合、
すなわち、 \( \ \displaystyle\frac{2a+1}{2} \lt 1 \leqq a+1 \ \)
整理して \( \ 0 \leqq a \lt \displaystyle\frac{1}{2} \ \) のとき
最小値:\( \ f\left( 1\right)=0 \ \)
最大値:\( \ f\left( a\right)=\left( a-1\right)^2 \ \)

定義域の「軸」と放物線の軸が重なるとき

定義域の「軸」と放物線の軸が重なるとき
定義域の「軸」と放物線の軸が重なる場合、
すなわち、 \( \ \displaystyle\frac{2a+1}{2}=1 \ \)
整理して \( \ a=\displaystyle\frac{1}{2} \ \) のとき
最小値:\( \ f\left( 1\right)=0 \ \)
最大値:\( \ f\left( \displaystyle\frac{1}{2}\right)=f\left( \displaystyle\frac{3}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \ \) 

放物線の軸が定義域の左端と定義域の「軸」の間にあるとき

放物線の軸が定義域の左端と定義域の「軸」の間にあるとき
 放物線の軸が定義域の左端と定義域の「軸」の間にある場合、
すなわち、 \( \ a \leqq 1 \lt \displaystyle\frac{2a+1}{2} \ \)
整理して \( \ \displaystyle\frac{1}{2} \lt a \leqq 1 \ \) のとき
最小値:\( \ f\left( 1\right)=0 \ \)
最大値:\( \ f\left( a+1\right)=a^2 \ \)

定義域の左端が軸よりも右にあるとき

定義域の左端が軸よりも右にあるとき
定義域の左端が放物線の軸よりも右側にある場合、
すなわち、 \( \ 1 \lt a \ \)のとき
最小値:\( \ f\left( a\right)=\left( a-1\right)^2 \ \)
最大値:\( \ f\left( a+1\right)=a^2 \ \)

最小値

$$\begin{align}a^2&:\quad a \lt 0\quad のとき \\\\ 0&:\quad 0 \leqq a \leqq 1\quad のとき \\\\ \left( a-1\right)^2&:\quad 1 \lt a\quad のとき \end{align}$$

最大値

$$\begin{align}\left( a-1\right)^2&:\quad a \lt \displaystyle\frac{1}{2} \quad のとき\\\\ \displaystyle\frac{1}{4}&:\quad a=\displaystyle\frac{1}{2}\quad のとき \\\\ a^2&:\quad \displaystyle\frac{1}{2} \lt a\quad のとき \end{align}$$

こたえ

最小値
$$\begin{align}a^2&:\quad a \lt 0\quad のとき \\\\ 0&:\quad 0 \leqq a \leqq 1\quad のとき \\\\ \left( a-1\right)^2&:\quad 1 \lt a\quad のとき \end{align}$$
最大値
$$\begin{align}\left( a-1\right)^2&:\quad a \lt \displaystyle\frac{1}{2} \quad のとき\\\\ \displaystyle\frac{1}{4}&:\quad a=\displaystyle\frac{1}{2}\quad のとき \\\\ a^2&:\quad \displaystyle\frac{1}{2} \lt a\quad のとき \end{align}$$ もう少し、複雑(?)な問題もあります。
よかったら、こちらもどうぞ。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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