高校数学の「絶対値・二次関数・不等式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

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(1) 次の関数のグラフを描け。
\(y=\vert \vert x^2-2x \vert -3\vert\)
(2) (1)のグラフを利用して、次の不等式を解け。
\(x+1 \leqq \vert \vert x^2-2x \vert -3\vert\)

絶対値は内側からはずそう。

Lukia_74

Lukia

絶対値記号の中に さらに絶対値記号が含まれているような式の場合、
まずは内側の絶対値記号をはずしてみることからやってみましょう。
その際、\(x\)の範囲がのちのち影響するので、意識しておいてください。

$$\begin{align}y=&f\left( x\right) \ とし, \\\\ g\left( x\right)=&\vert x^2-2x \vert \ とする.\end{align}$$
$$\begin{align}x \leqq 0 \ , \ 2 \leqq x \ のとき,\quad \quad &g\left( x\right)=x^2-2x\cdots① \\\\ 0 \lt x \lt 2 \ のとき,\quad \quad &g\left( x\right)=-x^2+2x\cdots②\end{align}$$

①, ②より
$$\begin{align}x \leqq 0 \ , \ 2 \leqq x \ のとき,\quad \quad &f\left( x\right)=\vert x^2-2x-3 \vert\cdots① \\\\ 0 \lt x \lt 2 \ のとき,\quad \quad &f\left( x\right)=\vert -x^2+2x-3 \vert\cdots②\end{align}$$

①を考える。

$$\begin{align}f\left( x\right)=\vert x^2-2x-3 \vert \ は&\\\\ x \leqq -1 \ , \ 3 \leqq x \ のとき\quad \quad &f\left( x\right)=x^2-2x-3 \\\\ -1 \lt x \lt 3 \ のとき\quad \quad &f\left( x\right)=-x^2+2x+3\\\\\end{align}$$

$$\begin{align} \\\\ただし \ x \leqq 0 \ , \ 2 \leqq x \ であるので,\\\\ x \leqq -1 \ , \ 3 \leqq x \ のとき\quad \quad &f\left( x\right)=x^2-2x-3\\\\ -1 \lt x \leqq 0 \ , \ 2 \leqq x \lt 3 \ のとき\quad \quad &f\left( x\right)=-x^2+2x+3\end{align}$$

②を考える。

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Lukia

①を詳しく解くことで、上の画像のようなグラフが描けました。
しかし、\(0 \leqq x \leqq 2\)の範囲がぽっかり空いていますね。
②がそこを埋めることになるのですが、ちょっと難しいです。

$$\begin{align}xに関する2次方程式 \ &-x^2+2x-3=0 \ において \ その判別式を\mathrm{D} \ とする. \ \\\\ \mathrm{D}=&4-12=-8 \lt 0 \ より \\\\ y=-x^2+2x-3 \ は,\quad &x軸と交わらない \ 上に凸の関数である. \end{align}$$

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ということは、このグラフを\(x\)軸でパタンと折り返せばいいことになりますね。

まとめて(場合分けをして)、グラフを描く。

$$\begin{align}0 \lt x \lt 2 \ のとき\quad \quad f\left( x\right)=&\vert -x^2+2x-3 \vert \\\\ =&x^2-2x+3 \\\\ =&\left( x-1\right)^2+2 \end{align}$$
$$\begin{align}① \ , \ ② \ より& \\\\ f\left( x\right)=&x^2-2x-3\quad \quad x \leqq -1 \ , \ 3 \leqq x \ のとき \\\\ f\left( x\right)=&-x^2+2x+3\quad \quad -1 \lt x \leqq 0 \ , \ 2 \leqq x \lt 3 \ のとき\\\\ f\left( x\right)=&x^2-2x+3\quad \quad 0 \lt x \lt 2 \ のとき \end{align}$$

なるべく正確なグラフを描く。

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グラフを利用して、不等式を解け。ということですから、
できるだけ正確なグラフを描くようにしましょう。
学校の定期テストなどで、このような問題が出された場合は、グラフが描きやすいよう、格子線が引かれた解答欄が設けられているかもしれません。
しかし、大学の二次試験などの解答用紙は、白紙ですし、大学入試センター試験に至っては、ものさしの持ち込みが禁止されているので、定期テストのような親切な解答用紙は期待できません。
日ごろからフリーハンドで、均等に点が打てる、格子線が引ける練習をしておくとよいでしょう。
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(1)で作成したグラフに、
\(y=x+1\)を紫色の直線で示します。

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赤と青の曲線よりも紫色の直線が下にある範囲を求めればよいことになります。

$$グラフより\quad x \leqq 1$$

こたえ

(1)

(2)
$$x \leqq 1$$

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