高校数学の「数列(漸化式)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 数学検定2級

問題

problem

 

数列\(\lbrace d_n\rbrace\)は、
漸化式 \(d_n=\frac{a_n}{n\left( n+1\right)}\quad \left( n=1, \ 2, \ 3,\cdots\right)\) を満たすとする.
ここで、\(a_n=\left( 2n-1\right)3^n\) である。

\(\frac{2n-1}{n\left( n+1\right)}=\frac{ツ}{n+1}-\frac{テ}{n}\) であるから、

\(\lbrace d_n\rbrace\)の初項から第\(n\)項までの和 \(\sum_{k=1}^{n}{d_k}\) を求めると
\(-ト+\frac{3^{n+ナ}}{n+ニ}\) である。

部分分数分解をする。

$$\begin{align}\frac{2n-1}{n\left( n+1\right)}=&\frac{\alpha}{n+1}-\frac{\beta}{n} \\ 分子のみに着目する.\\ 2n-1=&n\alpha-\beta\left( n+1\right) \\ \alpha-\beta=&2\\ -\beta=&-1\\ 以上より,\alpha=&3\quad ,\beta=1 \end{align}$$
$$\frac{\color{#f700ca}{ツ}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{テ}}{n}=\frac{\color{#f700ca}{3}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{1}}{n}$$
$$\begin{align}d_n=&\frac{\left( 2n-1\right)3^n}{n\left( n+1\right)}=\frac{3\cdot 3^n}{n+1}-\frac{3^n}{n} \ とあらわせる。
\\ここで, \ \frac{3^n}{n} =&e_n\quad とする. \\ e_1=&3\\ d_n=&e_{n+1}-e_n\quad より,\\ \sum_{k=1}^{n}{d_k}=&\left( e_2-e_1\right)+\left( e_3-e_2\right)+\cdots+\left( e_n-e_{n-1}\right)+\left( e_{n+1}-e_n\right)\\ =&-e_1+e_{n+1}\\ =&-3+\frac{3^{n+1}}{n+1} \end{align}$$
$$-\color{#f700ca}{ト}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{ナ}}}{n+\color{#f700ca}{ニ}}=-\color{#f700ca}{3}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{1}}}{n+\color{#f700ca}{1}}$$

こたえ

$$\frac{\color{#f700ca}{ツ}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{テ}}{n}=\frac{\color{#f700ca}{3}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{1}}{n}$$
$$-\color{#f700ca}{ト}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{ナ}}}{n+\color{#f700ca}{ニ}}=-\color{#f700ca}{3}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{1}}}{n+\color{#f700ca}{1}}$$

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Posted by Lukia_74