高校数学の「数列(漸化式)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月4日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約216

[mathjax]

問題
数列\(\lbrace d_n\rbrace\)は、
漸化式 \(d_n=\frac{a_n}{n\left( n+1\right)}\quad \left( n=1, \ 2, \ 3,\cdots\right)\) を満たすとする.
ここで、\(a_n=\left( 2n-1\right)3^n\) である。

\(\frac{2n-1}{n\left( n+1\right)}=\frac{ツ}{n+1}-\frac{テ}{n}\) であるから、

\(\lbrace d_n\rbrace\)の初項から第\(n\)項までの和 \(\sum_{k=1}^{n}{d_k}\) を求めると
\(-ト+\frac{3^{n+ナ}}{n+ニ}\) である。

部分分数分解をする。

$$\begin{align}\frac{2n-1}{n\left( n+1\right)}=&\frac{\alpha}{n+1}-\frac{\beta}{n} \ 分子のみに着目する.\\\\ 2n-1=&n\alpha-\beta\left( n+1\right) \\\\ \alpha-\beta=&2\\\\ -\beta=&-1\\\\ 以上より,\alpha=&3\quad ,\beta=1 \end{align}$$
$$\frac{\color{#f700ca}{ツ}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{テ}}{n}=\frac{\color{#f700ca}{3}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{1}}{n}$$
$$\begin{align}d_n=&\frac{\left( 2n-1\right)3^n}{n\left( n+1\right)}=\frac{3\cdot 3^n}{n+1}-\frac{3^n}{n} \ とあらわせる。
\\\\ここで, \ \frac{3^n}{n} =&e_n\quad とする. \\\\ e_1=&3\\\\ d_n=&e_{n+1}-e_n\quad より,\\\\ \sum_{k=1}^{n}{d_k}=&\left( e_2-e_1\right)+\left( e_3-e_2\right)+\cdots+\left( e_n-e_{n-1}\right)+\left( e_{n+1}-e_n\right)\\\\ =&-e_1+e_{n+1}\\\\ =&-3+\frac{3^{n+1}}{n+1} \end{align}$$
$$-\color{#f700ca}{ト}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{ナ}}}{n+\color{#f700ca}{ニ}}=-\color{#f700ca}{3}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{1}}}{n+\color{#f700ca}{1}}$$

こたえ

$$\frac{\color{#f700ca}{ツ}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{テ}}{n}=\frac{\color{#f700ca}{3}}{n+1}-\frac{\color{#f700ca}{1}}{n}$$
$$-\color{#f700ca}{ト}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{ナ}}}{n+\color{#f700ca}{ニ}}=-\color{#f700ca}{3}+\frac{3^{n+\color{#f700ca}{1}}}{n+\color{#f700ca}{1}}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

2018年12月4日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74