高校数学の「三角関数の合成」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角関数 , 合成  , 数学検定2級

問題

problem

 

三角関数の合成により,\( \ \left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sin \alpha+\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos \alpha \ \)を\( \ r\sin \left( \alpha+\beta\right) \ \)と表す。
ただし,\( \ r \gt 0 \ , \ 0 \leqq \beta \lt \pi \ \)とする。
このとき,\( \ \sin \beta=\color{#0004fc}{ア} \ \)である。
また,\( \ \cos 2\beta \ \)と\( \ \sin 2\beta \ \)の値を求めて,\( \ \beta=\color{#0004fc}{イ} \ \)を得る。

三角関数の合成は覚えて慣れるしかないよ。

$$\begin{align}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sin \alpha+\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos \alpha=&\sqrt{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^2+\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}\sin \left( \alpha+\beta\right) \\ \\ =&4\sin \left( \alpha+\beta\right) \\ \\ ただし,\betaは \ &\sin \beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\quad ,\quad \\ &\cos \beta=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\quad を満たす角。 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

三角関数の合成自体は、公式を覚え、何度か練習して身につけなければどうしようもないものなので、もう割り切ってがんばってください。
ここで、\( \ 0 \leqq \beta \lt \pi \ \)と,\( \ \sin \beta \ , \ \cos \beta \ \)の関係から\( \ \beta \ \)の大きさ(角度)についてもう少し詳しくできないか考えてみましょう。

$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{6} \lt 3 \\ 2-2 \lt &\sqrt{6}-\sqrt{2} \lt 3-1 \\ 0 \lt &\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \lt \frac{1}{2} \quad より\\ \\ 0 \lt &\beta \lt \frac{ \pi }{ 3 } \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\( \ \beta \ \)は第1象限の角であることがわかりました。
これをふまえながら、いよいよ\( \ \beta \ \)の正確な大きさを求めていきます。

$$\begin{align}\cos 2\beta=&1-\sin^{2} \beta \\ =&1-2\cdot \frac{8+4\sqrt{3}}{16} \\ =&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$$
$$\begin{align}\sin 2\beta=&2\sin \beta\cos \beta \\ =&2\cdot \frac{4}{16} \\ =&\frac{1}{2}\\ \beta=&\frac{ \pi }{ 6 } \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\color{#0004fc}{ア}\quad &\sin \beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \color{#0004fc}{イ}\quad &\beta=\frac{ \pi }{ 6 } \end{align}$$

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