高校数学の「放物線と直線のなす領域」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 領域 , 二次関数と直線 , 数学検定準2級

問題

problem

 

連立不等式 \(18x^2-y-1 \leqq 0 \ , \ 6x-y+3 \geqq 0\)を表す領域を\(\mathrm{D}\)とする。
(1) 点\(\mathrm{P} \ \left( x \ , \ y\right)\)が領域\(\mathrm{D}\)を動くとき、\(\mathrm{P}\)の\(x\)座標の最小値、最大値を求めよ。
(2) 点\(\mathrm{P} \ \left( x \ , \ y\right)\)が領域\(\mathrm{D}\)を動くとき、\(x-\frac{1}{18}y\)の最小値、最大値を求めよ。

まずは領域を描いてみよう。

連立不等式のそれぞれを書き直してみます。
$$\begin{align}18x^2-y-1 \leqq 0\quad \quad →\quad &18x^2-1 \leqq y \\ 6x-y+3 \geqq 0\quad \quad →\quad &6x+3 \geqq y\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\(y=18x^2-1\) や、\(y=6x+3\) ならグラフが描けますね。

Lukia_74

Lukia

また、それぞれの不等式から、求める領域\(\mathrm{D}\)は、
青い放物線の内側とピンクの直線の下側の重なった部分であるとわかります。

$$求める領域\mathrm{D}は \ 以下の図の紫色で塗りつぶされた部分である.\left( 境界を含む.\right)$$

放物線と直線の交点を求めよう。

Lukia_74

Lukia

点\(\mathrm{P}\)は、紫で塗りつぶされた部分と、一部の直線、放物線上に存在することができます。
今、(1)の問いでは、「点\(\mathrm{P}\)が動ける横の限界はどこか?」と聞いているわけです。
図を見てみると、放物線と直線の交点がその限界にあたるようです。
ということは、放物線と直線の交点を求めればよさそうですね。

$$\begin{align}18x^2-1=&6x+3 \\ 18x^2-6x-4=&0 \\ 9x^2-3x-2=&0\\ \left( 3x-2\right)\left( 3x+1\right)=&0\\ x=-\frac{1}{3} \ ,& \ x=\frac{2}{3} \end{align}$$
ゆえに
$$\begin{align}最大値:&\frac{2}{3} \\ 最小値:&-\frac{1}{3}\end{align}$$

定数kをおいて考えよう。

ここで、放物線と直線の交点をそれぞれ
$$\begin{align}\mathrm{M}&\left( \frac{2}{3} \ , \ 7\right) \\ m&\left( -\frac{1}{3} \ , \ 1\right) \quad \quad としておく.\end{align}$$

$$\begin{align}x-\frac{1}{18}y=&k\quad とする.\left( kは \ k \geqq 0 \ の実数と仮定する.\right) \\ 18x-y=&18k \\ y=&18x-18k\quad \quad \cdots*\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

傾きが18の直線ということは、かなり急激に右上に増加していく直線だといえますね。
透明なものさしとか、透明な下敷きなどがあれば、急な右肩上がりの直線を仮定して動かしてみてほしいのですが、
切片の\(-18k\)は、点\(m\)のとき最大で、点\(\mathrm{M}\)をとおるとき最小ということになります。
Lukia_74

Lukia

最終的に求めるのは、\(k\)の最大値・最小値ですが、まずは、
\(-18k\)の最大値・最小値で考えてみましょう。

$$\begin{align}直線 \ y=18x-18k \ のy切片 \ -18k \ は\\ 点mをとおるとき最大\\点\mathrm{M}をとおるとき最小である\end{align}$$
$$\begin{align}1-18\times -\frac{1}{3}=&-18k \\ 7=&-18k \\ k=&-\frac{7}{18} \end{align}$$
$$\begin{align}7-18\times \frac{2}{3}=& \\ -5=&-18k \\ k=&\frac{5}{18} \end{align}$$
以上より、
$$最大値\quad \frac{5}{18} \ , \ 最小値\quad -\frac{7}{18}$$

こたえ

(1)
$$\begin{align}最大値:&\frac{2}{3} \\ 最小値:&-\frac{1}{3}\end{align}$$

(2)
$$最大値\quad \frac{5}{18} \ , \ 最小値\quad -\frac{7}{18}$$

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