高校数学の「放物線と直線のなす領域」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月12日二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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[mathjax]

問題
連立不等式 \(18x^2-y-1 \leq 0 \ , \ 6x-y+3 \geq 0\)を表す領域を\(\mathrm{D}\)とする。
(1) 点\(\mathrm{P} \ \left( x \ , \ y\right)\)が領域\(\mathrm{D}\)を動くとき、\(\mathrm{P}\)の\(x\)座標の最小値、最大値を求めよ。
(2) 点\(\mathrm{P} \ \left( x \ , \ y\right)\)が領域\(\mathrm{D}\)を動くとき、\(x-\frac{1}{18}y\)の最小値、最大値を求めよ。

まずは領域を描いてみよう。

連立不等式のそれぞれを書き直してみます。
$$\begin{align}18x^2-y-1 \leq 0\quad \quad →\quad &18x^2-1 \leq y \\\\ 6x-y+3 \geq 0\quad \quad →\quad &6x+3 \geq y\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\(y=18x^2-1\) や、\(y=6x+3\) ならグラフが描けますね。

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Lukia

また、それぞれの不等式から、求める領域\(\mathrm{D}\)は、
青い放物線の内側とピンクの直線の下側の重なった部分であるとわかります。

$$求める領域\mathrm{D}は \ 以下の図の紫色で塗りつぶされた部分である.\left( 境界を含む.\right)$$

放物線と直線の交点を求めよう。

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点\(\mathrm{P}\)は、紫で塗りつぶされた部分と、一部の直線、放物線上に存在することができます。
今、(1)の問いでは、「点\(\mathrm{P}\)が動ける横の限界はどこか?」と聞いているわけです。
図を見てみると、放物線と直線の交点がその限界にあたるようです。
ということは、放物線と直線の交点を求めればよさそうですね。

$$\begin{align}18x^2-1=&6x+3 \\\\ 18x^2-6x-4=&0 \\\\ 9x^2-3x-2=&0\\\\ \left( 3x-2\right)\left( 3x+1\right)=&0\\\\ x=-\frac{1}{3} \ ,& \ x=\frac{2}{3} \end{align}$$
ゆえに
$$\begin{align}最大値:&\frac{2}{3} \ 最小値:&-\frac{1}{3}\end{align}$$

定数kをおいて考えよう。

ここで、放物線と直線の交点をそれぞれ
$$\begin{align}\mathrm{M}&\left( \frac{2}{3} \ , \ 7\right) \ m&\left( -\frac{1}{3} \ , \ 1\right) \quad \quad としておく.\end{align}$$

$$\begin{align}x-\frac{1}{18}y=&k\quad とする.\\\\ \left( kは \ k \geq 0 \ の実数と仮定する.\right) \\\\ 18x-y=&18k \\\\ y=&18x-18k\quad \quad \cdots*\end{align}$$

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傾きが18の直線ということは、かなり急激に右上に増加していく直線だといえますね。
透明なものさしとか、透明な下敷きなどがあれば、急な右肩上がりの直線を仮定して動かしてみてほしいのですが、
切片の\(-18k\)は、点\(m\)のとき最大で、点\(\mathrm{M}\)をとおるとき最小ということになります。
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最終的に求めるのは、\(k\)の最大値・最小値ですが、まずは、
\(-18k\)の最大値・最小値で考えてみましょう。

$$\begin{align}直線 \ y=18x-18k \ のy切片 \ -18k \ は\\\\ 点mをとおるとき最大\\\\点\mathrm{M}をとおるとき最小である\end{align}$$
$$\begin{align}1-18\times -\frac{1}{3}=&-18k \\\\ 7=&-18k \\\\ k=&-\frac{7}{18} \end{align}$$
$$\begin{align}7-18\times \frac{2}{3}=&-18k \\\\ -5=&-18k \\\\ k=&\frac{5}{18} \end{align}$$
以上より、
$$最大値\quad \frac{5}{18} \ , \ 最小値\quad -\frac{7}{18}$$

こたえ

(1)
$$\begin{align}最大値:\quad \frac{2}{3} \quad ,\quad 最小値:\quad -\frac{1}{3}\end{align}$$

(2)
$$最大値:\quad \frac{5}{18}\quad ,\quad 最小値:\quad -\frac{7}{18}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74