【 42 / 42 】 論理と集合 「必要条件と十分条件の判定問題」を解いてみる。 

集合と論理実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

読了時間: 約352
問題

次の(    )内にあてはまるものを、下の(ア)~(エ)のうちから一つ選べ。
\( \ a \ \) , \( \ b \ \) は \( \ 0 \ \) でない実数とする。
\( \ ab \ \)が無理数であることは\( \displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数であるための(    )。

(ア) 必要十分条件である
(イ) 必要条件であるが十分条件ではない
(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない
(エ) 必要条件でも十分条件でもない

NS判定問題における恩師 沖田一希先生

この「必要条件と十分条件の判定問題」シリーズは、
東進衛星予備校の沖田一希先生との出会いがなかったら実現しませんでした。
以下の記事には、沖田一希先生の御紹介と問題の考え方を示しています。

解法

主語(N:必要)を考える

主語(N:必要)は、「 \( \ ab \ \)が無理数 」です。
実数には、
整数\( \ \div \ \)整数 すなわち \(\displaystyle\frac{整数}{整数}\)で表せる「有理数」と、

整数\( \ \div \ \)整数 すなわち \(\displaystyle\frac{整数}{整数}\)で表せない「無理数」があります。

述語(S:十分)を考える

国語的には、厳密な述語は「○○条件である」の部分ですが、
この述語を修飾(詳しく説明)する「 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数である(ための) 」を
述語(S:十分)としておきます。

包含関係より判定する

ここで、主語(N:必要)と述語(S:十分)の包含関係を考えてみます。
たとえるなら、パーとグーしか出せないじゃんけんをしているようなものです。
パー(紙)は、グー(石)を包み込んでしまいますね。

また、一方が他方を完全にもれなく包み込んでしまう場合のみ、必要条件や十分条件が成り立ちます。
逆にいうと、ひとつでも例外(もれ)があれば、必要条件も十分条件も成り立ちません

成り立たない前提で考える

まず、「\( \ ab \ \)が無理数」とはどんな状況かを考えてみます。
\( \ \left( a, \ b\right)= \ \)( 有理数, 無理数 ),または( 無理数, 有理数 ) であれば、「\( \ ab \ \)が無理数」は成り立ちます。
しかし、\( \ \left( a, \ b\right)= \ \)( 無理数, 無理数 ) の場合は、そう簡単ではありません。
無理数同士の積なのに、有理数になってしまう場合があるからです。
たとえば、 \( \ \left( a, \ b\right)=\left( \sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right) \ \) の場合。
\( \ ab=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2 \ \) のように、積が有理数になってしまいますね。

レモンのライン
実は、「\( \ ab \ \)が無理数」という条件がかなりざっくりしているので、必要条件、または十分条件が成り立つかどうか、雲行きが怪しいのです。(どちらも成り立たなそうな印象)
そこで、意地悪なのですが、初めからどちらの条件も成り立たない前提で、「ほら〜成り立たないでしょう?」といえる「例外」を一つ挙げていくことにします。

まずは、確実に「\( \ ab \ \)が無理数」、または「 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数」が成り立つ\( \ a \ \), \( \ b \ \) を設定します。

今回は、ネイピア数(自然対数の底とも)といわれる無理数\( \ e \ \)を用いてみましょう。
Lukia_74
Lukia
ちなみに、\( \ e=2.71828182846\cdots \ \) です。

\( \ \left( a, \ b\right)=\left( e, \ e\right) \ \)のとき
\( \ ab=e\times e=e^2 \ \)であり、\( \ ab \ \) は無理数 は成り立つ。
しかし、 \( \ \displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{e}{e}=1 \ \) となり、\( \ \displaystyle\frac{b}{a} \ \)は無理数 は成り立たない。

ゆえに、\( \ ab \ \)が無理数であることは\( \displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数であるための必要条件ではない。

\( \ \left( a, \ b\right)=\left( e, \ \displaystyle\frac{1}{e}\right) \ \) のとき
\( \ \displaystyle\frac{b}{a}=b\times \displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{1}{e}\times \displaystyle\frac{1}{e}=\displaystyle\frac{1}{e^2} \ \) であり、\( \ \displaystyle\frac{b}{a} \ \)は無理数 は成り立つ。
しかし、\( \ ab=e\times \displaystyle\frac{1}{e}=1 \ \) であり、\( \ ab \ \) は無理数 は成り立たない。
ゆえに、\( \ ab \ \)が無理数であることは\( \displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数であるための十分条件ではない。

どちらの条件も、他方を完全に包含することはできないので、必要条件でも十分条件でもないということになります。 よって、答えは、「 (エ) 必要条件でも十分条件でもない 」 となります。

こたえ

(エ) 必要条件でも十分条件でもない


レモンのライン 2021年現在、必要条件と十分条件の判定問題に関する記事は、
2021年7月23日から2021年9月2日の間で、42記事公開する予定です。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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