【 42 / 42 】 論理と集合 「必要条件と十分条件の判定問題」を解いてみる。　

主語(N:必要)は、「 \( \ ab \ \)が無理数 」です。
実数には、
整数\( \ \div \ \)整数 すなわち \(\displaystyle\frac{整数}{整数}\)で表せる「有理数」と、

整数\( \ \div \ \)整数 すなわち \(\displaystyle\frac{整数}{整数}\)で表せない「無理数」があります。

国語的には、厳密な述語は「○○条件である」の部分ですが、
この述語を修飾（詳しく説明）する「 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数である（ための） 」を
述語(S:十分）としておきます。

成り立たない前提で考える

まず、「\( \ ab \ \)が無理数」とはどんな状況かを考えてみます。
\( \ \left( a, \ b\right)= \ \)( 有理数, 無理数 ),または（ 無理数, 有理数 ) であれば、「\( \ ab \ \)が無理数」は成り立ちます。
しかし、\( \ \left( a, \ b\right)= \ \)( 無理数, 無理数 ) の場合は、そう簡単ではありません。
無理数同士の積なのに、有理数になってしまう場合があるからです。
たとえば、 \( \ \left( a, \ b\right)=\left( \sqrt{2}, \ \sqrt{2}\right) \ \) の場合。
\( \ ab=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2 \ \) のように、積が有理数になってしまいますね。


実は、「\( \ ab \ \)が無理数」という条件がかなりざっくりしているので、必要条件、または十分条件が成り立つかどうか、雲行きが怪しいのです。（どちらも成り立たなそうな印象）
そこで、意地悪なのですが、初めからどちらの条件も成り立たない前提で、「ほら〜成り立たないでしょう？」といえる「例外」を一つ挙げていくことにします。

まずは、確実に「\( \ ab \ \)が無理数」、または「 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数」が成り立つ\( \ a \ \), \( \ b \ \) を設定します。

今回は、ネイピア数（自然対数の底とも）といわれる無理数\( \ e \ \)を用いてみましょう。

\( \ \left( a, \ b\right)=\left( e, \ e\right) \ \)のとき
\( \ ab=e\times e=e^2 \ \)であり、\( \ ab \ \) は無理数 は成り立つ。
しかし、 \( \ \displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{e}{e}=1 \ \) となり、\( \ \displaystyle\frac{b}{a} \ \)は無理数 は成り立たない。

ゆえに、\( \ ab \ \)が無理数であることは\( \displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数であるための必要条件ではない。

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\( \ \left( a, \ b\right)=\left( e, \ \displaystyle\frac{1}{e}\right) \ \) のとき
\( \ \displaystyle\frac{b}{a}=b\times \displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{1}{e}\times \displaystyle\frac{1}{e}=\displaystyle\frac{1}{e^2} \ \) であり、\( \ \displaystyle\frac{b}{a} \ \)は無理数 は成り立つ。
しかし、\( \ ab=e\times \displaystyle\frac{1}{e}=1 \ \) であり、\( \ ab \ \) は無理数 は成り立たない。
ゆえに、\( \ ab \ \)が無理数であることは\( \displaystyle\frac{b}{a}\)が無理数であるための十分条件ではない。

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どちらの条件も、他方を完全に包含することはできないので、必要条件でも十分条件でもないということになります。 よって、答えは、「 （エ）　必要条件でも十分条件でもない 」 となります。