高校数学の「二次関数の平行移動」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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放物線\(y=x^2-6x+2\)を平行移動したものが
2点\(\left( -1 , 6\right)\) , \(\left( 2 , 3\right)\)を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

二次関数は軸と頂点をビンビン意識せよ!

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Lukia

二次関数の平行移動は、センター試験出題者の大好物です。
引っかかり、パニくる受験生を手ぐすね引いて待っているのです。
しかし、問題を解き始める際に、必ず、軸と頂点を明らかにしておく。という習慣をつけておけば、
結構簡単に解けるようになる問題でもあります。

$$\begin{align}y=&x^2-6x+2 \\ =&\left( x-3\right)^2-9+2 \\ =&\left( x-3\right)^2-7 \end{align}$$
ゆえに、頂点は、
$$\left( 3 , -7\right)$$

頂点を平行移動させる。


$$\begin{align}求める放物線の方程式は、& \\ x軸方向に&a \\ y軸方向に&b 平行移動したものと考える。\\&\left( ただし、aとbは実数\right) \end{align}$$
これより、求める放物線の方程式は、
$$\begin{align}y\color{blue}{-b}=&\left( x-3\color{blue}{-a}\right)^2-7 \\すなわち、& \\ y=&\left( x-3\color{blue}{-a}\right)^2-7\color{blue}{+b} \cdots ☆  とあらわせる。\end{align}$$

代入して連立方程式を解く。

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Lukia

☆に2つの座標を代入して、aとbに関する連立方程式を解きます。

$$\begin{align}☆に\left( -1 , 6\right)を&代入して、 \\ 6=&\left( -4-a\right)^2-7+b \cdots ① \end{align}$$
$$\begin{align}☆に\left( 2 , 3\right)を&代入して、 \\ 3=&\left( -1-a\right)^2-7+b \cdots ② \end{align}$$
$$\begin{align}①-②を&行う。 \\ 3=&\left( -4-a\right)^2-\left( -1-a\right)^2\\3=&\left( -4-a-1-a\right)\left( -4-a+1+a\right) \\3=&3\left( 2a+5\right) \\1=&2a+5\\ \\ a=&-2 \end{align}$$
$$\begin{align}a=-2を&①に代入して、 \\ 6=&\left( -4+2\right)^2-7+b \\ \\ b=&9 \end{align}$$

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Lukia

つまり、求める放物線は、
\(y=x^2-6x+2\)を、
\(x\)軸方向に\(-2\) , \(y\)軸方向に\(9\) 平行移動させたものとわかります。

$$\begin{align}a=-2 , b=9&を☆に代入して、 \\ y=&\left( x-3+2\right)^2-7+9 \\ y=&\left( x-1\right)^2+2\\ \\ y=&x^2-2x+3 \end{align}$$

イメージ

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Lukia

以下のグラフで、平行移動を具体的にイメージしてみましょう。
灰色の放物線が、もとの\(y=x^2-6x+2\) です。
そして、青い放物線が、平行移動後の\(\color{blue}{y=x^2-2x+3}\)です。
青い放物線上の二つの赤い点は、それぞれ、\(\color{red}{\left( -1 , 6\right)}\) , \(\color{red}{\left( 2 , 3\right)}\)です。

こたえ


$$\Large y=x^2-2x+3 $$

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