高校数学の「接線の方程式・面積・回転体の体積」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年12月3日2021年8月9日積分とその応用実用数学技能検定（数学検定 数検),数検準1級

接線lの方程式を求める。

$$\begin{align}&接点を \ \left( t \ , \ e^t\right)\quad とする.\\\\ &接線lの方程式は \ y=e^t\left( x-t\right)+e^t \ とおける. \\\\&点\mathrm{A}の値を代入する.\\\\& 0=e^t\left( 2-t\right)+e^t\\\\ &e^t\cdot t=3e^t\\\\&e^t \neq 0\quad より両辺を \ e^t \ でわって,\\\\ &t=3\\\\ &y=e^3\left( x-3\right)+e^3\\\\& l:\quad y=e^3\left( x-2\right) \end{align}$$

面積Sを求める。

$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\int_{0}^{3} e^x dx-\displaystyle\int_{2}^{3} \left( e^3x-2e^3\right) dx \\\\ =&\left[e^x \right]_0^3 – \displaystyle\frac{e^3}{2}\left[x^2-4x \right]_2^3 \\\\ =&e^3-1-e^3\left( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 9-6-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 4+4\right)\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}e^3-1 \end{align}$$

回転体の体積を求める。

$$\begin{align}\displaystyle\frac{\mathrm{V}}{\pi}=&\displaystyle\int_{0}^{3} e^{2x} dx-e^6\displaystyle\int_{2}^{3} \left( x-2\right)^2 dx \\\\ ここで, \ 2x=&t \ とする. \\\\ 両辺を \ &x \ について微分する. \\\\ 2=&\displaystyle\frac{dt}{dx}\\\\ 2dx=&t\end{align}$$
$$\begin{align}\displaystyle\frac{\mathrm{V}}{\pi}=&\displaystyle\int_{0}^{6} e^t\cdot \displaystyle\frac{1}{2} dt-e^6\left[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x\right]_2^3 \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\left( e^6-1\right)-\displaystyle\frac{e^6}{3} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{6}\left( e^6-3\right)\ \\\\ \mathrm{V}=&\displaystyle\frac{\pi}{6}\left( e^6-3\right) \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}l:\quad y=&e^3\left( x-2\right) \\\\ \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}e^3-1\\\\ \mathrm{V}=&\displaystyle\frac{\pi}{6}\left( e^6-3\right) \end{align}$$