高校数学の「接線の方程式・面積・回転体の体積」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 接線の方程式 , 回転体の体積 , 数学検定準1級

問題

problem

 

関数\(f\left( x\right)=e^x\) を考える。
以下では、点\(\mathrm{A}\left( 2 \ , \ 0\right)\)から\(y=f\left( x\right)\)に引いた接線を\(l\)とする。
(1) 接線\(l\)の方程式を求めよ。
(2) \(y=f\left( x\right)\)のグラフと\(x\)軸、\(y\)軸、および接線\(l\)で囲まれた部分の面積\(\mathrm{S}\)を求めよ。
(3) (2)で求めた部分を\(x\)軸の周りに1回転させてできる回転体の体積\(\mathrm{V}\)を求めよ。

接線lの方程式を求める。

$$\begin{align}&接点を \ \left( t \ , \ e^t\right)\quad とする.\\ \\&接線lの方程式は \ y=e^t\left( x-t\right)+e^t \ とおける. \\&点\mathrm{A}の値を代入する.\\& 0=e^t\left( 2-t\right)+e^t\\ &e^t\cdot t=3e^t\\&e^t \neq 0\quad より両辺を \ e^t \ でわって,\\ &t=3\\ &y=e^3\left( x-3\right)+e^3\\& l:\quad y=e^3\left( x-2\right) \end{align}$$

面積Sを求める。

Lukia_74

Lukia

以下の図のピンクに塗りつぶされた部分が\(\mathrm{S}\)です。

$$\mathrm{S}=\int_{0}^{3} e^x dx-\int_{2}^{3} \left( e^3x-2e^3\right) dx$$
$$=\left[e^x \right]_0^3 – \frac{e^3}{2}\left[x^2-4x \right]_2^3$$
$$\begin{align}=&e^3-1-e^3\left( \frac{1}{2}\cdot 9-6-\frac{1}{2}\cdot 4+4\right)\\ =&\frac{1}{2}e^3-1\end{align}$$

回転体の体積を求める。

Lukia_74

Lukia

\(x\)軸回転の体積は、うすっぺら~いバウムクーヘンを\(x\)軸という棒に突き刺すイメージです。
バウムクーヘンは、曲線\(y=e^x\)に従い、さまざまな大きさの同心円となります。
うすっぺら~いバウムクーヘンでは、面積のままですが、バウムクーヘンを棒に突きさしていくことで、少しずつ厚みができ、体積となっていきます。

$$\begin{align}\frac{\mathrm{V}}{\pi}=&\int_{0}^{3} e^{2x} dx-e^6\int_{2}^{3} \left( x-2\right)^2 dx \\ ここで, \ 2x=&t \ とする. \\ 両辺を \ &x \ について微分する. \\ 2=&\frac{dt}{dx}\\ 2dx=&t\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{\mathrm{V}}{\pi}=&\int_{0}^{6} e^t\cdot \frac{1}{2} dt-e^6\left[\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x\right]_2^3 \\ =&\frac{1}{2}\left( e^6-1\right)-\frac{e^6}{3} \\ =&\frac{1}{6}\left( e^6-3\right)\\ \\ \mathrm{V}=&\frac{\pi}{6}\left( e^6-3\right) \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}l:\quad y=&e^3\left( x-2\right) \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}e^3-1 \\\mathrm{V}=&\frac{\pi}{6}\left( e^6-3\right) \end{align}$$

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