2019年大学入試センター試験 数学1A「第5問 図形の性質」を解いてみる。

2019年1月26日図形の性質数学, 数学検定, 数検準2級

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\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)において,\( \ \mathrm{AB}=4 \ , \ \mathrm{BC}=7 \ , \ \mathrm{AC}=5 \ \)とする。
このとき,\( \ \cos \angle \mathrm{BAC}=-\frac{1}{5} \ ,\quad \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{2\sqrt{6}}{5} \ \) である。
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の内接円の半径は\( \ \color{#0004fc}{\frac{\sqrt{ア}}{イ}} \ \)である。
この内接円と辺\( \ \mathrm{AB} \ \)との接点を\( \ \mathrm{D} \ \),辺\( \ \mathrm{AC} \ \)との接点を\( \ \mathrm{E} \ \)とする。
\( \ \mathrm{AD}=\color{#0004fc}{ウ} \ , \ \mathrm{DE}=\color{#0004fc}{\frac{エ\sqrt{オカ}}{キ}} \ \) である。


$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積を \ &\mathrm{S} \ とする. \\ また内接円の半径を \ &r \ とする. \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{2}\left( \mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}\right)r\\ 8\sqrt{6}=&16\mathrm{I}\\ \\ r=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{6}}{2}} \end{align}$$
$$\begin{align}\mathrm{AD}=&a \ , \ \mathrm{DB}=b \ , \ \mathrm{CE}=c\quad とする。 \\ \mathrm{AB+BC+CA}=&2\left( a+b+c\right) \\ a+b+c=&8\\ b+c=&7\quad より\\ a=&1\\ \mathrm{AD}=&\color{#0004fc}{1} \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ADE} \ において&余弦定理より \\ \cos \angle \mathrm{DAE}=&\frac{1+1-\mathrm{DE}^2}{2\cdot 1\cdot 1} \\ \mathrm{DE}=&\color{#0004fc}{\frac{2\sqrt{15}}{5}} \end{align}$$

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線分\( \ \mathrm{BE} \ \)と線分\( \ \mathrm{CD} \ \)の交点を\( \ \mathrm{P} \ \),
直線\( \ \mathrm{AP} \ \)と辺\( \ \mathrm{BC} \ \)との交点を\( \ \mathrm{Q} \ \)とする。
\( \ \mathrm{\frac{BQ}{CQ}}=\color{#0004fc}{\frac{ク}{ケ}} \ \) であるから, \( \ \mathrm{BQ}=\color{#0004fc}{コ} \ \) であり,
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の内心を\( \ \mathrm{I} \ \)とすると
\( \ \mathrm{IQ}=\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{サ}}{シ}} \ \) である。
また,直線\( \ \mathrm{CP} \ \)と\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)の内接円との交点で\( \ \mathrm{D} \ \)とは異なる点を\( \ \mathrm{F} \ \)とすると
\( \ \cos \angle \mathrm{DFE}=\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{スセ}}{ソ}} \ \) である。


$$\begin{align}\mathrm{\frac{BQ}{CQ}}=&\color{#0004fc}{\frac{3}{4}}\quad より \\ \mathrm{BQ}=&\color{#0004fc}{3} \\ \\ 点 \ \mathrm{Q} \ は& \ 内接円 \ \mathrm{I} \ 上の点であるから\\ \mathrm{IQ}=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{align}$$

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三角形の内心は、それぞれの角の二等分線の交点です。
また、内心から辺におろした垂線の長さを半径とする内接円が描けます。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ADC}において,\quad &余弦定理より \\ \mathrm{DC}=&2\sqrt{7} \\ \\ \triangle \mathrm{CDE} \ と \ \triangle \mathrm{CEF} \ において&接弦定理より\quad \angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{CDE} \ \cdots\cdots \ ①\\ &\angle \mathrm{ECD}=\angle \mathrm{FCE} \ \cdots\cdots \ ②\quad より\\ &\triangle \mathrm{CDE} \backsim \triangle \mathrm{CEF}\end{align}$$
$$\begin{align}ここで, \ \cos \angle \mathrm{DFE}=&-\cos \angle \mathrm{EFC}=-\cos \angle \mathrm{DEC} \\ 余弦定理より& \\ -\cos \angle \mathrm{DEC}=&\frac{\frac{60}{25}+16-28}{2
\cdot \frac{2\sqrt{15}}{5}\cdot 4}\\ =&\frac{48}{16\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\\ ゆえに\quad \cos \angle \mathrm{DFE}=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{15}}{5}} \end{align}$$

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接弦定理・相似比などをバンバン使う問題なので、私は第5問はあまり選びませんでした。幾何は、図形のイメージ力とか、くるくると視点を変えられるかどうかなどが求められる、数学の中でも瞬発力重視の分野だと思います。
私の場合、加齢によりここらへんの感覚や瞬発力が鈍っていたので、特に苦手意識がありました。
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最後の\( \ \cos \angle \mathrm{DFE} \ \)を求めるためには、その外角を含む\( \ \triangle \mathrm{CEF} \ \)を用いたくなると思いますが、そうなると、辺\( \ \mathrm{EF} \ \)を求める必要が出てきます。
すると、相似比から求める手間が増えますね。
相似とは、拡大・縮小の関係ですから、すでに三辺の辺の長さがわかっている\( \ \triangle \mathrm{CDE} \ \)を用いても、なんの不都合もありません。
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このように、シンプルなことに気が付けば、手間が省けるようになっているのが、センター数学だといえるでしょう。
必要以上に焦ったり、緊張したりすると、パフォーマンス度はどんどん下がってしまいます。
「焦るな!」とか、「緊張するな!」と思えば思うほど、ドツボにはまってしまうので、
「ああ、ちょっと焦ってるな。」とか、「あれ、ちょっと緊張しすぎ?」と事実を受け入れるようにしましょう。
交感神経があまりに優位になりすぎても、パフォーマンスはよくなりません。
やったこと以上の成果なんて出ませんから、むしろ落ち着いて、やったことを100パーセントに近い状態で発揮できるようにしましょう。

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そういえば、わたくしごとなのですが、
今回の図は、GeoGebra(ジオジブラと読むのかな?)のスマホアプリ版で描きました。
GeoGebra自体は、パソコン版をインストールして数ヶ月経っているのですが、
これまで、使い方がよくわからない、試行錯誤する時間的余裕がない。などの理由で、ずっと使えずにいました。
式が立てられるグラフは、GRAPESで描くことができたのですが、(これも、なんとなく試行錯誤しているうちにできるようになった)
GeoGebraはさっぱりわからず・・・。
結果、ペイントなどで、それらしい図形を描いてごまかしてきました。
今後は、図形もきれいなものが描けそうなので、うれしいです。

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Posted by Lukia_74