高校数学の「外分比がらみの平面ベクトル」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 外分 , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ \mathrm{OA}=2 \ , \ \mathrm{OB}=2\sqrt{5} \ \)を満たす三角形\( \ \mathrm{OAB} \ \)がある.辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ 1:3 \ \)に外分する点を\( \ \mathrm{P} \ \)とするとき,直線\( \ \mathrm{OP} \ \)と直線\( \ \mathrm{AB} \ \)は垂直に交わっている.
(1) \( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \ \)を,\( \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ \)と\( \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)を用いて表せ.
(2) 内積\( \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)の値を求めよ.
(3) \( \ \mathrm{Q} \ \)を辺\( \ \mathrm{OB} \ \)上の動点とする.内積\( \ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \ \)が最小となるときの\( \ \mathrm{\frac{OQ}{QB}} \ \)の値と,内積の最小値を求めよ.
Lukia_74

Lukia

今回の問題には、「外分」が含まれていますね。
「イメージしにくくて苦手・・・」と思う方もいらっしゃると思います。(私もそうです。)
でも、そんなときは無理しない。
図を描け。と言われているわけではないので、内分と同じように扱えばいいんです。

外分比も内分比と同じように扱える。(ただしコツあり)

Lukia_74

Lukia

\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)を描き、
辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ \color{#0004fc}{3:-1} \ \)に内分するように、「内分比」を互い違いにおいてやります。

Lukia_74

Lukia

点\( \ \mathrm{P} \ \)は線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の「内分点」ですから、両端の「内分比」の和、すなわちとなりますね。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \end{align}$$

内積を求めよう。

$$\begin{align}\mathrm{OP}\perp\mathrm{AB}&\quad より \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=&0 \\ \frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\left( \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)=&0\\ 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}-6-20+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&0 \\ 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&32\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&8 \end{align}$$

ベクトルの内積計算は、とにかく無理しない。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad \left( k \ は実数\right)\quad とする.\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=&\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right)\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) \\ =&\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ここで、\( \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)に関して、一部まとめたくなるでしょうが、考えるだけ手間なので、無理しません。
下のような表を描いて、まずはかけ算し、最終的にたし算していけば、内積が求められます。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=&20k^2-10k-2 \\ k=&\frac{1}{4}\quad のとき \\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}& \ は最小値 \ -\frac{13}{4}\quad をとる. \end{align}$$
また,
$$\begin{align}\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}=\frac{\vert k\overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}}-k\overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}=&\frac{k}{1-k}\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert \\ =&\frac{-\frac{13}{4}}{1+\frac{13}{4}}\cdot 2\sqrt{5} \\ =&\frac{26}{17}\sqrt{5} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}(1)&\quad \quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\\(2)&\quad \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=8\\
(3)&\quad \quad 内積の最小値:-\frac{13}{4}\\ &\quad \quad \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}=\frac{26}{17}\sqrt{5}
\end{align}$$

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