Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった置換積分を解いてみる。

2018年9月24日2023年1月15日積分とその応用実用数学技能検定（数学検定 数検),数検準1級

解法

$$\begin{align}x=&\tan \theta　とし、両辺をxで微分する。
\\\\ 1=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)\frac{d\theta}{dx}
\\\\ dx=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta \end{align}$$

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1}{\left( 1+\tan^{2} \theta\right)^2}\cdot \left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta
\\\\ =&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1}{1+\tan^{2} \theta}d\theta
\end{align}$$

Lukia

\(\left( \tan \theta\right)’=\frac{1}{\cos^{2}\theta}=1+\tan^{2} \theta \)　であるから、

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \cos^{2} \theta d\theta
\\\\ =&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta
\\\\ =&\frac{1}{2}\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \left( 1+\cos 2\theta\right) d\theta
\\\\ =&\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }}
\\\\ =&\frac{1}{2}\left( \frac{ \pi }{ 3 }-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+\frac{1}{4}\left( \sin 2\cdot \frac{ \pi }{ 3 }-\sin 2\cdot \frac{ \pi }{ 4 }\right)
\\\\ =&\frac{ \pi }{ 24 }+\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{1}{4}
\\\\ =&\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} \end{align}$$

こたえ

$$\Large \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx=\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} $$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。