Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「最大値・最小値」問題を解いてみる。

2018年9月23日微分とその応用, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

読了時間: 約140

問題

Left Caption

 

\(y=\left( 1+\cos x\right)\sin x \left( 0 \leqq x \leqq 2\pi\right)\) における
最大値・最小値を求めよ。

解法

Left Caption

Lukia

最大値・最小値という言葉を見たら、
微分して、できるだけ正確なグラフをとらえる必要があります。
また、以下のような図を描いて、スピーディに微分していきましょう。


$$\begin{align}y=&f(x) とする。
\\ f'(x)=&\color{blue}{-\sin x}\cdot \sin x+\left( 1+\cos \theta\right)\color{blue}{\cos x}
\\ =&-\sin^{2} x+\cos^{2} x+\cos^{2} x
\\ =&2\cos^{2} x+\cos x-1 \end{align}$$

$$\begin{align}ここで、f’\left( x\right)=0 になるときを考える。
\\ \left( \cos x+1\right)\left( 2\cos x-1\right)=&0
\\ \cos x=-1 , \cos x=\frac{1}{2}
\\ 範囲より、x=\pi , \frac{ \pi }{ 3 } , {\frac{ 5 }{ 3 }}\pi \end{align}$$
これをもとに、増減表を書いてみる。

$$x$$ $$0$$ $$\frac{ \pi }{ 3 }$$ $$\pi$$ $${\frac{ 5 }{ 3 }}\pi$$ $$2\pi$$
$$f’\left( x\right)$$ / $$0$$ $$0$$ $$0$$ /
$$f\left( x\right)$$ $$0$$ $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ $$0$$ $$-\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ $$0$$

$$\begin{align}ゆえに、&
\\ 最大値:&  \frac{3\sqrt{3}}{4}
\\ 最小値:&  -\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align} 最大値:  &\frac{3\sqrt{3}}{4}
\\ 最小値:  -&\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{align}$$

カテゴリー