Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった置換積分を解いてみる。

2018年9月24日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
\(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx\) を解け。

解法

$$\begin{align}x=&\tan \theta とし、両辺をxで微分する。
\\\\ 1=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)\displaystyle\frac{d\theta}{dx}
\\\\ dx=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta \end{align}$$

$$x$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$
$$\tan \theta$$ $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }$$ $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }$$

$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }} \displaystyle\frac{1}{\left( 1+\tan^{2} \theta\right)^2}\cdot \left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta
\\\\ =&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }} \displaystyle\frac{1}{1+\tan^{2} \theta}d\theta
\end{align}$$

Left Caption

Lukia

\(\left( \tan \theta\right)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\theta}=1+\tan^{2} \theta \) であるから、

$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }} \cos^{2} \theta d\theta
\\\\ =&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }} \displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }} \left( 1+\cos 2\theta\right) d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }}
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\left( \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }-\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }\right)+\displaystyle\frac{1}{4}\left( \sin 2\cdot \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }-\sin 2\cdot \displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }\right)
\\\\ =&\displaystyle\frac{ \pi }{ 24 }+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}
\\\\ =&\displaystyle\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} \end{align}$$

こたえ

$$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx=\displaystyle\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} $$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年9月24日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74