Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった置換積分を解いてみる。

2018年9月24日数学検定準1級, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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問題

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\(\LARGE \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx\) を解け。

解法

$$\begin{align}x=&\tan \theta とし、両辺をxで微分する。
\\ 1=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)\frac{d\theta}{dx}
\\ dx=&\left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta \end{align}$$

$$x$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$
$$\tan \theta$$ $$\frac{ \pi }{ 4 }$$ $$\frac{ \pi }{ 3 }$$

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1}{\left( 1+\tan^{2} \theta\right)^2}\cdot \left( 1+\tan^{2} \theta\right)d\theta
\\ =&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1}{1+\tan^{2} \theta}d\theta
\end{align}$$

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Lukia

\(\left( \tan \theta\right)’=\frac{1}{\cos^{2}\theta}=1+\tan^{2} \theta \) であるから、

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \cos^{2} \theta d\theta
\\ =&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta
\\ =&\frac{1}{2}\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }} \left( 1+\cos 2\theta\right) d\theta
\\ =&\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 3 }}
\\ =&\frac{1}{2}\left( \frac{ \pi }{ 3 }-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+\frac{1}{4}\left( \sin 2\cdot \frac{ \pi }{ 3 }-\sin 2\cdot \frac{ \pi }{ 4 }\right)
\\ =&\frac{ \pi }{ 24 }+\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{1}{4}
\\ =&\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} \end{align}$$

こたえ

$$\Large \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx=\frac{\pi+3\sqrt{3}-6}{24} $$

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