高校数学の「二項定理で係数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

方程式・式と証明実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「二項定理で係数を求める」問題を解いてみました。

問題

$$\begin{align}\left( x^2+\displaystyle\frac{3}{x}\right)^5 \ &の \\\\ x^4\quad &の係数を求めよ。 \end{align}$$
$$$$

解法

$$\begin{align}\left( x^2+\displaystyle\frac{3}{x}\right)^5=&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r\left( x^2\right)^{5-r}\cdot \left( \displaystyle\frac{3}{x}\right)^r} \\\\ =&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r\cdot x^{10-2r}\cdot 3^r\cdot x^{-r}} \\\\ =&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r \cdot 3^r\cdot x^{10-3r}} \end{align}$$ ここで、
$$\begin{align}10-3r=&4 \\\\ r=&2 \end{align}$$ $$\begin{align}_5\mathrm{C}_2\cdot 3^2\cdot x^{10-6}=&\displaystyle\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot 3^2\cdot x^4 \\\\ =&90x^4 \end{align}$$ ゆえに求める係数は \( \ 90 \ \)  

こたえ

\( \ 90 \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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