高校数学の「二項定理で係数を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「二項定理で係数を求める」問題を解いてみました。
問題
$$\begin{align}\left( x^2+\displaystyle\frac{3}{x}\right)^5 \ &の \\\\ x^4\quad &の係数を求めよ。 \end{align}$$
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解法
$$\begin{align}\left( x^2+\displaystyle\frac{3}{x}\right)^5=&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r\left( x^2\right)^{5-r}\cdot \left( \displaystyle\frac{3}{x}\right)^r} \\\\ =&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r\cdot x^{10-2r}\cdot 3^r\cdot x^{-r}} \\\\ =&\displaystyle\sum_{r=0}^{5}{_5\mathrm{C}_r \cdot 3^r\cdot x^{10-3r}} \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}10-3r=&4 \\\\ r=&2 \end{align}$$ $$\begin{align}_5\mathrm{C}_2\cdot 3^2\cdot x^{10-6}=&\displaystyle\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot 3^2\cdot x^4 \\\\ =&90x^4 \end{align}$$ ゆえに求める係数は \( \ 90 \ \)
$$\begin{align}10-3r=&4 \\\\ r=&2 \end{align}$$ $$\begin{align}_5\mathrm{C}_2\cdot 3^2\cdot x^{10-6}=&\displaystyle\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot 3^2\cdot x^4 \\\\ =&90x^4 \end{align}$$ ゆえに求める係数は \( \ 90 \ \)
こたえ
\( \ 90 \ \)
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