Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。

2018年9月27日図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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\(\triangle \mathrm{ABC}\)において
\(\angle \mathrm{A}=45^{\circ} , \angle \mathrm{B}=60^{\circ} , b=5\sqrt{6}\)のとき、
辺の長さ a , c を求めよ。

解法

正弦定理を用いて。

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Lukia

正確でなくてもいいので、適当な三角形を描いて、
わかっている情報を書き込んでみましょう。

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Lukia

\(\angle\mathrm{B}\)とその対辺\(b\)の大きさがわかっているので、
正弦定理を用いて、\(\angle\mathrm{A}\)の対辺 \(a\) の大きさを求めます。

正弦定理より、
$$\begin{align}\frac{b}{\sin \angle\mathrm{B}}=&\frac{a}{\sin \angle \mathrm{A}} \\ & \\ a=&\frac{\sin \angle \mathrm{A}}{\sin \angle\mathrm{B}}\times b \\ =&\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}\times 5\sqrt{6}\\ ゆえに& \\ \Large a=&10 \end{align}$$

余弦定理を用いて。

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Lukia

\(\angle\mathrm{C}\)の大きさがわからないので、正弦定理は使えません。
そこで、余弦定理を用いて\(c\)の大きさを求めます。
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Lukia

以下の式は、教科書に載っている余弦定理の式を変形したものです。
センター試験では、この形を覚えておいたほうがなにかと便利でした。

$$\Large \color{red}{\angle\mathrm{B} に関する余弦定理}$$
$$\Large\color{red}{\cos \angle\mathrm{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}  より、$$
$$\begin{align}\cos \angle\mathrm{B}=&\frac{10^2+c^2-\left( 5\sqrt{6}\right)^2}{2\cdot 10\cdot c} \\ \frac{1}{2}\times \left( 2\cdot 10\cdot c\right)=&25\times 4+c^2-25\times 6 \\ 10c=&c^2-50\\ c^2-10c=&50 \\ \left( c-5\right)^2-25=&50\\ \left( c-5\right)^2=&75 \\ c-5=& \pm 5\sqrt{3}\\ c=&5 \pm 5\sqrt{3} \end{align}$$

辺cの大きさは2つあっていいの?

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Lukia

\(c=5 \pm 5\sqrt{3}\) と求められたわけですが、
はたして両方とも こたえとしてよいのでしょうか。
ネックとなるのは、\(5\sqrt{3}\)の大きさですよね。
\(5+5\sqrt{3}\)は間違いなく \(c \gt 0\) を満たしていますが、
\(5-5\sqrt{3}\)は \(c \gt 0\) を満たしているのでしょうか。

ルート3≒1.7 として簡単に計算してみる。

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Lukia

センター試験は、スピード勝負ですので、
\(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.7\) と覚えておいてよいと思います。

$$\begin{align}5-5\sqrt{3}=&5\left( 1-\sqrt{3}\right) \\ =&5\left( 1-1.7\right) \\ =&-3.5\\ ただし、 c \gt 0 &より不適。 \end{align}$$

平方根に直して考える。

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Lukia

\(5-5\sqrt{3}\) 程度なら、使うまでもありませんが、
もう少し複雑な数の大小比較であれば、平方根に直して考えるのが確実です。

$$\begin{align}5-5\sqrt{3}=&\sqrt{25}-\sqrt{75} \\ & \\ ここで、&\sqrt{25} \lt \sqrt{75} であるから、\\ & \\ 与式& \lt 0\\ & \\ ゆえに&不適。 \end{align}$$

マイナス5ルート3の数直線上の位置を考える。

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Lukia

先ほどの平方根に直して考えるやり方の派生です。

$$\begin{align}5\sqrt{3}=&\sqrt{75} より、\\ & \\ \sqrt{64} \lt 5&\sqrt{3} \lt \sqrt{81} であるから、\\ & \\ -\sqrt{81} \lt -5&\sqrt{3} \lt -\sqrt{64} \\ 5-9 \lt 5-5&\sqrt{3} \lt 5-8\\ -4 \lt 5-5&\sqrt{3} \lt -3\\ & \\ あきらかに&5-5\sqrt{3} \lt 0 であるから、不適。 \end{align}$$

こたえ

$$\Large a=10$$
$$\Large c=5+5\sqrt{3}$$

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Posted by Lukia_74