高校数学の「定義域の両端が動く関数の最大・最小(難しい)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数と式実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「定義域の両端が動く関数の最大・最小(難しい)」に関する問題を解いてみました。

もし、この記事の問題が難しいようなら、もう少しやさしめの問題があります。
まずは、こちらからどうぞ。


問題

\( \ t \leqq x \leqq t+1 \ \)における
関数 \( \ y=\left( \vert x-4 \vert-1\right)^2 \ \)の
最大値を\( \ f\left( t\right) \ \)とするとき、\( \ f\left( t\right) \ \)を求めよ。

解法

与えられた関数を以下のようにおく。
$$\begin{align}h\left( x\right)=&\left( x-5\right)^2\quad x \geqq 4 \ のとき \\\\ g\left( x\right)=&\left( x-3\right)^2\quad x \lt 4 \ のとき \end{align}$$ また、定義域の中央 \( \ x=\displaystyle\frac{2t+1}{2} \ \) を「軸」とする。

(1)
定義域の右端が軸よりも左にあるとき定義域の右端が\( \ g\left( x\right) \ \)の軸よりも左にあるとき
$$\begin{align}t+1\lt &3\quad すなわち \\\\ t \lt &2 \quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&g\left( t\right)=\left( t-3\right)^2 \end{align}$$
(2)
放物線のの軸が 定義域の「軸」と定義域の右端の間にあるとき \( \ g\left( x\right) \ \) の軸が 定義域の「軸」と定義域の右端の間にあるとき
$$\begin{align}\displaystyle\frac{2t+1}{2} \lt &3 \lt t+1\quad すなわち \\\\ 2 \lt &t \lt \displaystyle\frac{5}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-3\right)^2 \end{align}$$
(3)
定義域の「軸」とg(x)の軸が重なるとき 定義域の「軸」と\( \ g\left( x\right) \ \)の軸が重なるとき
$$\begin{align}\displaystyle\frac{2t+1}{2}=&3\quad すなわち \\\\ t=&\displaystyle\frac{5}{2}\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=g\left( \displaystyle\frac{5}{2}\right)=g\left( \displaystyle\frac{7}{2}\right)=&\displaystyle\frac{1}{4} \end{align}$$
(4)
g(x)の軸が、定義域の左端と「軸」の間にあるとき \( \ g\left( x\right) \ \)の軸が、定義域の左端と「軸」の間にあるとき
$$\begin{align}3 \lt \displaystyle\frac{2t+1}{2} \lt& \displaystyle\frac{7}{2}\quad すなわち \\\\ \displaystyle\frac{5}{2} \lt &t \lt 3\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&g\left( t+1\right)^2=\left( t-2\right)^2 \end{align}$$
(5)
g(x)の軸と定義域の左端が重なるとき 定義域の右端が\( \ x=4 \ \) 上にあるとき
定義域の左端が\( \ g\left( x\right) \ \) の軸に重なるので、
$$\begin{align}t=&3\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&g\left( 4\right)=1 \end{align}$$
(6)
定義域の右端がh(x) の軸の左側にあるとき 定義域の右端が\( \ h\left( x\right) \ \) の軸の左側にあるとき
$$\begin{align}3 \leqq t \lt &4\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&g\left( 4\right)=h\left( 4\right)=1 \end{align}$$
(7)
定義域の右端がh(x)の軸と重なるとき 定義域の右端が\( \ h\left( x\right) \ \) の軸と重なるとき
$$\begin{align} t=&4\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&h\left( 4\right)=1 \end{align}$$
(8)
h(x)の軸が定義域の「軸」と定義域の右端の間にあるとき \( \ h\left( x\right) \ \) の軸が定義域の「軸」と定義域の右端の間にあるとき
$$\begin{align}\displaystyle\frac{2t+1}{2} \lt &5 \lt t+1\quad すなわち \\\\ 4 \lt &t \lt \displaystyle\frac{5}{2}\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&h\left( t\right)=\left( t-5\right)^2 \end{align}$$
(9)
定義域の「軸」とh(x)の軸が重なるとき 定義域の「軸」と\( \ h\left( x\right) \ \)の軸が重なるとき
$$\begin{align}t=&\displaystyle\frac{9}{2}\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&h\left( \displaystyle\frac{9}{2}\right)=h\left( \displaystyle\frac{11}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{4} \end{align}$$
(10)
h(x)の軸が定義域の左端と定義域の「軸」の間にあるとき \( \ h\left( x\right) \ \) の軸が定義域の左端と定義域の「軸」の間にあるとき
$$\begin{align}t \lt 5 \lt &\displaystyle\frac{2t+1}{2}\quad すなわち \\\\ \displaystyle\frac{9}{2} \lt &t \lt 5\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&h\left( t+1\right)=\left( t-4\right)^2 \end{align}$$
(11)
定義域の左端がh(x)の軸と重なるとき 定義域の左端が\( \ h\left( x\right) \ \)の軸と重なるとき
$$\begin{align}t=&5\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-4\right)^2 \end{align}$$
(12)
定義域の左端がh(x) の軸よりも右側にあるとき 定義域の左端が \( \ h\left( x\right) \ \) の軸よりも右側にあるとき

まとめ

以上より
$$\begin{align}5 \lt &t\quad のとき \\\\ f\left( t\right)=&h\left( t+1\right)=\left( t-4\right)^2 \end{align}$$
$$\begin{align} f\left( t\right)=&\left( t-3\right)^2\quad t \lt \displaystyle\frac{5}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\displaystyle\frac{1}{4}\quad t=\displaystyle\frac{5}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-2\right)^2\quad \displaystyle\frac{5}{2} \lt t \lt 3 \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&1\quad 3 \leqq t \leqq 4 \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&\left( t-5\right)^2\quad 4 \lt t \lt \displaystyle\frac{9}{2} \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&\displaystyle\frac{1}{4}\quad t=\displaystyle\frac{9}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-4\right)^2\quad \displaystyle\frac{9}{2} \lt t \ のとき \end{align}$$
Lukia_74
Lukia
12通りも場合分けして、ヘトヘトです。。。
ちなみに、上記のまとめをグラフにしてみると、以下の図のようになりました。
なんか、逆さまのにゃんこしゃんに見えます。(笑)
関数でもお絵かきできるって素敵!
グラフにさかさまのにゃんこしゃん?

こたえ

$$\begin{align} f\left( t\right)=&\left( t-3\right)^2\quad t \lt \displaystyle\frac{5}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\displaystyle\frac{1}{4}\quad t=\displaystyle\frac{5}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-2\right)^2\quad \displaystyle\frac{5}{2} \lt t \lt 3 \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&1\quad 3 \leqq t \leqq 4 \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&\left( t-5\right)^2\quad 4 \lt t \lt \displaystyle\frac{9}{2} \ のとき\\\\ f\left( t\right)=&\displaystyle\frac{1}{4}\quad t=\displaystyle\frac{9}{2} \ のとき \\\\ f\left( t\right)=&\left( t-4\right)^2\quad \displaystyle\frac{9}{2} \lt t \ のとき \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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