高校数学の「tanθで表された三角関数の値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「tanθで表された三角関数の値を求める」問題を解いてみました。


問題

\( \ \sin \theta+\cos \theta= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき
\( \ \tan^{3} \theta+ \ \)\(\displaystyle\frac{1}{\tan^{3} \theta}\) の値を求めよ。

解法

もしも、\( \ \theta=\alpha\pi \ \) (ただし \( \ \alpha \ \)は整数 )のとき
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \displaystyle\frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \sin \theta \neq 0 \ \) である。
同様に、\( \ \theta={\displaystyle\frac{ \alpha }{ 2 }}\pi \ \) (ただし \( \ \alpha \ \)は整数 )のとき
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \displaystyle\frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) である。

\( \ \sin \theta+\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \cos \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\displaystyle\frac{\cos \theta}{\cos \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\cos \theta} \\\\ \\\\ \tan \theta+1=&\displaystyle\frac{1}{2\cos \theta}\\\\ \tan \theta=&\displaystyle\frac{1}{2\cos \theta}-1 \quad \cdots \ ① \end{align}$$
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \sin \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\displaystyle\frac{\sin \theta}{\sin \theta}+\displaystyle\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \\\\ 1+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \displaystyle\frac{1}{\tan \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\sin \theta}-1 \quad \cdots \ ② \end{align}$$
$$\tan^{3} \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^{3} \theta}=\left( \tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right)$$ ここで、①、②より
$$\begin{align}\tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\cos \theta}-1+\displaystyle\frac{1}{2\sin \theta}-1 \\\\ =&\displaystyle\frac{2\left( \sin \theta+\cos \theta\right)}{4\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta} -2\end{align}$$
また、
$$\begin{align}\left( \sin \theta+\cos \theta\right)^2=&\sin^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta+\cos^{2} \theta \\\\ 2\sin \theta\cos \theta=&-\displaystyle\frac{3}{4} \end{align}$$ ゆえに
$$\begin{align}\tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}=&\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2\cdot -\displaystyle\frac{3}{4}}-2 \\\\ =&-\displaystyle\frac{2}{3}-2 \ \quad \\\\ =&-\displaystyle\frac{8}{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\tan^{3} \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^{3} \theta}=&\left( \tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right) \\\\ =&\left( -\displaystyle\frac{8}{3}\right)^3-3\left( -\displaystyle\frac{8}{3}\right) \\\\ =&-\displaystyle\frac{8}{3}\left( \displaystyle\frac{64}{9}-3\right)\\\\ =&-\displaystyle\frac{8\times 37}{3} \\\\ =&-\displaystyle\frac{296}{3} \end{align}$$

Lukia_74
Lukia
この問題のポイントは、
\( \ \tan \theta=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ \) であることが意識できているかどうか、
また、それに基づいて、式を \( \ \sin \theta \ \) と \( \ \cos \theta \ \) で表せるか。です。
Lukia_74
Lukia
そのとき、
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ \)という関係式の両辺を
\( \ \cos \theta \ \) 、または \( \ \sin \theta \ \) で割るわけですが、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) かつ \( \ \sin \theta \neq 0 \ \) であることを確かめておく必要があります。

\( \ \cos \theta=0 \ \) や \( \ \sin \theta=0 \ \)になる場合、\( \ 0 \ \) では割れませんからね。

こたえ

$$-\displaystyle\frac{296}{3}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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