高校数学の「放物線（二次関数）の最小値」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年1月17日2023年1月14日二次関数実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

読了時間: 約5分14秒

[mathjax]

問題

$ x\ $の関数 $ \ y=x^2-ax \ $について,次の問いに答えよ.
ただし, $ \ a \ $は実数の定数とする.
(1)　$ \ y \ $の最小値が$ \ -4 \ $のとき,$ \ a \ $の値を求めよ.
(2)　$ \ -1 \leq x \leq 4 \ $における最小値が$ \ -4 \ $となるような$ \ a \ $の値をすべて求めよ.
(3)　$ \ a \leq x \leq a+1 \ $における$ \ y \ $の最小値を$ \ m\left( a\right) \ $とおくとき,$ \ m\left( a\right) \ $を$ \ a \ $を用いて表せ.さらに,関数$ \ y=m\left( a\right) \ $のグラフをかけ.

放物線の凸の方向を確認する習慣をつけよう。

Lukia

$x^2 \ $の係数が正か負かを見れば、放物線が上に凸か、下に凸かが簡単にわかりますね。
さらに(1)では、定義域（$ \ x \ $の値が取る範囲）が特に定められていないので、頂点が最小値であることがわかります。

$$\begin{align}y=x^2-ax=&\left( x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}\quad より, \\\\ -\frac{a^2}{4}=&-4 \\\\ a^2=&16\\\\ a=& \pm 4 \end{align}$$

定義域が固定されているなら「軸の位置」で場合分けをする。

Lukia

(1)で、放物線の式を平方完成することによって、軸と頂点がそれぞれあきらかになりました。
（放物線,二次関数が出てきたら、必ず軸と頂点を求めておきましょう。）

Lukia

(2)の問題では、定義域が設定されたので、「軸の位置」によっては、
下に凸の放物線であっても、頂点が最小値とは限らない。ということになってしまいます。
そこで、「軸の位置」を場合分けすることによって、最小値を取る$ \ x \ $の値を絞り込んでいきます。

Lukia

放物線の式を$ \ x \ $についての二次方程式として解いたら、
$ \ x \ $軸と交わるのは、$ \ x=0 \ , \ x=a \ $とわかっています。
しかし、問題では、「$ \ a \ $は実数。」と定められているだけなので、正かもしれない、負かもしれない、なんならゼロかもしれないのです。
というわけで、まずは、ざっくりと$ \ a \ $が正のとき、負のとき、ゼロのとき。と場合分けをして、さらに細かく定義域内の「軸の位置」を考えていきます。

$$以下,\quad y=f\left( x\right)\quad とする.$$
$$Ⅰ)\quad a \gt 0 \ のとき$$
$$ⅰ)\quad 4 \lt \frac{a}{2}\quad のとき$$

Lukia

定義域の右端よりもさらに右側に軸が存在する場合、
最小値は,図中の青い点が示す$ \ f\left( 4\right) \ $となります。

$$ⅱ)\quad 4 =\frac{a}{2}\quad のとき$$

Lukia

軸を定義域の右端を近づけてみます。
すると、軸と定義域の右端が重なったときまでは、$ \ f\left( 4\right) \ $が最小値となることがわかりますね。
この二つの図の状態をまとめてみます。

$$\begin{align}4 \leq &\frac{a}{2} \quad すなわち \ 8 \leq a \ のとき\\\\ f\left( 4\right)=&16-4a=-4 \\\\ a=&5\\\\ 8 \leq &a\quad を満たさないので不適. \end{align}$$
$$ⅲ)\quad \frac{a}{2} \lt 4\quad のとき$$

Lukia

軸が定義域の間にあるときを考えます。
この場合は、頂点が定義域に含まれているわけですから、$ \ f\left( \frac{a}{2}\right) \ $が最小値だといえますね。

$$\begin{align}\frac{a}{2} \lt &4\quad すなわち \ a \lt 8 \ のとき \\\\ f\left( \frac{a}{2}\right)=&-\frac{a^2}{4}=-4 \\\\ a^2=&16\\\\ 0 \lt &a \lt 8\quad より\\\\ a=&4 \end{align}$$
$$Ⅱ)\quad a = 0 \ のとき$$
$$\begin{align}y=&x^2 \\\\ &最小値は \ 0 \ であるので,不適.\end{align}$$

Lukia

$y=x^2 \ $の放物線において、$ \ -4 \ $という値はどうやっても取ることができませんね。

$$Ⅲ)\quad a \lt 0 \ のとき$$

Lukia

今度は、定義域の左端と軸の位置によって、最小値をとる$ \ x \ $の値が変わってくることになりますね。操作自体は、場合分けⅠで行ったことと同じ（鏡のように反転させているだけ）なので、一部省略させてもらいます。

$$ⅰ)\quad -1 \leq \frac{a}{2}\quad のとき$$

$$\begin{align}-1 \leq &\frac{a}{2}\quad すなわち\quad -2 \leq a \ のとき \\\\ f\left( \frac{a}{2}\right)=&-\frac{a^2}{4}=-4 \\\\ a^2=&16\\\\ a=& \pm 4\\\\ &どちらも \ -2 \leq a \lt 0 \ を満たさないので, \ 不適. \end{align}$$

$$ⅱ)\quad -1 \gt \frac{a}{2}\quad のとき$$

$$\begin{align}\frac{a}{2} \lt &-1\quad すなわち \ a \lt -2 \ のとき \\\\ f\left( -1\right)=&1+a=-4 \\\\ a=&-5 \end{align}$$

$$Ⅰ, \ Ⅱ \ より\quad a=4 \ , \ -5$$

じ、自由すぎる・・・

Lukia

(3)では、軸だけでなく、定義域までもが定数$ \ a \ $によって自由に動くことになりました。（汗）
こういうときは、機械的に放物線を5つ描き、軸と定義域を描き込んでいくに限ります。

$$ⅰ)\quad a+1 \lt \frac{a}{2} \ のとき$$

$$\begin{align}a+1 \lt &\frac{a}{2}\quad すなわち \ a \lt -2 \ のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( a+1\right)=a+1 \end{align}$$
$$ⅱ)\quad a \leq \frac{a}{2} \leq a+1 \ のとき$$

$$\begin{align}a \leq &\frac{a}{2} \leq a+1\quad すなわち-2 \leq a \leq 0\quad のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( \frac{a}{2}\right) =-\frac{a^2}{4} \end{align}$$
$$ⅲ)\quad \frac{a}{2} \lt a \ のとき$$

$$\begin{align} \frac{a}{2} \lt &a\quad すなわち \ 0 \lt a \ のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( a\right)=0 \end{align}$$
グラフは以下の通り.