高校数学の「三角形と三角比」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年11月14日2020年8月9日図形と計量Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

問題

三角形\(\mathrm{ABC}\)において、\(\mathrm{AB}=5 \ , \ \mathrm{AC}=3 \ , \ \angle \mathrm{A}=120^{\circ}\)とする。
\(\angle \mathrm{A}\)の二等分線と辺\(\mathrm{BC}\)の交点を\(\mathrm{D}\)とするとき、
線分\(\mathrm{AD}\)の長さを求めよ。

Lukia

はじめにおことわりしておきますが、
正確な図形を描けるパソコンソフトの使い方を勉強していないため、
描画ソフトで、かなり適当に図を描いています。
よって、\(60^{\circ}\)なのに、見た目の角度が明らかに違います。
正確な図形が公開できるようになるまでは、フリーハンドの図形でお許しくださいね。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}に&おいて余弦定理より\ \cos 120^{\circ}=&\frac{\mathrm{AB^2+AC^2-bBC^2}}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}} \ -\frac{1}{2}=&\frac{25+9-\mathrm{BC^2}}{2\cdot 5\cdot 3}\ -15=&34-\mathrm{BC^2}\ \ \mathrm{BC} \gt& 0 \ より\ \mathrm{BC}=&7 \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、\mathrm{AD}=&x \ とおく。\left( ただし \ x \gt 0\right) \ \いま、\angle \mathrm{A} \ の二等分線\mathrm{AD} \ は、 \ 辺\mathrm{BC} \ を5：3 \ に内分するので、\ \mathrm{BD}=&\frac{5}{8} \times 7\ \mathrm{DC}=&\frac{3}{8} \times 7 \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABD} \ と& \ \triangle \mathrm{ADC} \ において、余弦定理より\ \cos 60^{\circ}=&\frac{25+x^2-\frac{5^2\times 7^2}{8^2}}{2\cdot 5x}=\frac{9+x^2-\frac{3^2\times 7^2}{8^2}}{2\cdot 3x} \ (途中計&算は省略）\ x=&\frac{15}{8} \end{align}$$

こたえ

$$\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。