高校数学の「三角形と三角比」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 三角比 , 余弦定理 , 角の二等分線と対辺の性質 , 数学検定準2級

問題

problem

三角形\(\mathrm{ABC}\)において、\(\mathrm{AB}=5 \ , \ \mathrm{AC}=3 \ , \ \angle \mathrm{A}=120^{\circ}\)とする。
\(\angle \mathrm{A}\)の二等分線と辺\(\mathrm{BC}\)の交点を\(\mathrm{D}\)とするとき、
線分\(\mathrm{AD}\)の長さを求めよ。
Lukia_74

Lukia

はじめにおことわりしておきますが、
正確な図形を描けるパソコンソフトの使い方を勉強していないため、
描画ソフトで、かなり適当に図を描いています。
よって、\(60^{\circ}\)なのに、見た目の角度が明らかに違います。
正確な図形が公開できるようになるまでは、フリーハンドの図形でお許しくださいね。


$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}に&おいて余弦定理より\\ \cos 120^{\circ}=&\frac{\mathrm{AB^2+AC^2-bBC^2}}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}} \\ -\frac{1}{2}=&\frac{25+9-\mathrm{BC^2}}{2\cdot 5\cdot 3}\\ -15=&34-\mathrm{BC^2}\\ \\ \mathrm{BC} \gt& 0 \ より\\ \mathrm{BC}=&7 \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、\mathrm{AD}=&x \ とおく。\left( ただし \ x \gt 0\right) \\ \\いま、\angle \mathrm{A} \ の二等分線\mathrm{AD} \ は、 \\ 辺\mathrm{BC} \ を5:3 \ に内分するので、\\ \mathrm{BD}=&\frac{5}{8} \times 7\\ \mathrm{DC}=&\frac{3}{8} \times 7 \end{align}$$
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABD} \ と& \ \triangle \mathrm{ADC} \ において、余弦定理より\\ \cos 60^{\circ}=&\frac{25+x^2-\frac{5^2\times 7^2}{8^2}}{2\cdot 5x}=\frac{9+x^2-\frac{3^2\times 7^2}{8^2}}{2\cdot 3x} \\ (途中計&算は省略)\\ x=&\frac{15}{8} \end{align}$$

こたえ


$$\mathrm{AD}=\frac{15}{8}$$

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