高校数学の「平面ベクトルにおける点の存在範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月11日ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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[mathjax]

問題
\(\mathrm{O} \ \)を原点とする座標平面上に点 \( \ \mathrm{A}\left( 1, \ 1\right) \ \) ,\( \ \mathrm{B}\left( -2, \ 4\right) \ \) がある.
また,点\( \ \mathrm{P} \ \)を\( \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \) (\(s, \ t \ \)は実数)で定める.
(1) \(s=1, \ t=\displaystyle\frac{1}{2}\)のとき,点\( \ \mathrm{P} \ \)の座標を求めよ.
(2) \(s, \ t\)が,\( \ 0 \leqq s \leqq 2, \ 0 \leqq t \leqq 1\)を満たして変化するとき,点\( \ \mathrm{P} \ \)が存在する範囲を求めてそれを図示せよ.
(3) \(s, \ t\)が,\( \ s+t=1, \ s \geqq 0, \ t \geqq 0 \ \)を満たして変化するとき,点\( \ \mathrm{P} \ \)が存在する範囲を求めてそれを図示せよ.
(4) \(s, \ t\)が,\( \ s+t=\displaystyle\frac{1}{2}, \ s \geqq 0, \ t \geqq 0 \ \)を満たして変化するとき,点\( \ \mathrm{P} \ \)が存在する範囲を求めてそれを図示せよ.

(1)を解く。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\\\ =&\left( 1-1 \ , \ 1+2\right) \\\\ =&\left( 0 \ , \ 3\right) \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\\\ &\left( 0 \leqq s \leqq 2 \ , \ 0 \leqq t \leqq 1\right) \end{align}$$
点Pは平行四辺形BOCDの周上とその内部

(3)を解く。

点Pは線分AB上(端点A, Bを含む)

(4)を解く。

$$\begin{align}s+t=&\displaystyle\frac{1}{2} \\\\ 2s+2t=&1 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&2s\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2t\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\\\ ここで,&2s=k \ とする.\\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&k\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left( 1-k\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \end{align}$$
点Pは線分CD上。(端点C, Dを含む)

こたえ

今回は省略します。
上記を参考にしてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74