2019年大学入試センター試験 数学1A「第1問 二次関数(放物線)」を解いてみる。

2019年1月26日二次関数数学, 数学検定, 数検準2級

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\( \ a \ \)と\( \ b \ \)はともに正の実数とする。
\( \ x \ \)の2次関数 \( \ y=x^2+\left( 2a-b\right)x+a^2+1 \ \) のグラフを\( \ \mathrm{G} \ \)とする。
(1) グラフ\( \ \mathrm{G} \ \)の頂点の座標は
\( \ \left( \frac{b}{\color{#0004fc}{チ}}-a \ , \ -\frac{b^2}{\color{#0004fc}{ツ}}+ab+\color{#0004fc}{テ}\right) \ \) である。
覚えてしまおう♪
$$\begin{align}y=&ax^2+bx+c\quad の頂点の座標は \\\\ &\left( -\frac{b}{2a} \ , \ -\frac{b^2}{4a}+c\right) \end{align}$$

$$\left( \frac{b}{\color{#0004fc}{2}}-a \ , \ -\frac{b^2}{\color{#0004fc}{4}}+ab+\color{#0004fc}{1}\right)$$

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グラフ\( \ \mathrm{G} \ \)が点\( \ \left( -1 \ , \ 6\right) \ \)を通るとき,\( \ b \ \)のとり得る値の最大値は\( \ \color{#0004fc}{ト} \ \)であり,そのときの\( \ a \ \)の値は\( \ \color{#0004fc}{ナ} \ \)である。

$$\begin{align}6=&1-2a+b+a^2+1 \\ b=&-a^2+2a+4\quad \cdots\cdots \ ★ \\ ★は,&上に凸の放物線だから,頂点で最大値をとる. \\ b=&-a^2+2a+4=-\left( a-1\right)^2+5\end{align}$$
$$\begin{align}b \ のとり得る値の最大値は \ &\color{#0004fc}{5} \ であり,\\ そのときの \ a \ の値は \ &\color{#0004fc}{1} \ である. \end{align}$$

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\( \ b=5 \ , \ a=1 \ \)のとき,グラフ\( \ \mathrm{G} \ \)は2次関数\( \ y=x^2 \ \)のグラフを\( \ x \ \)軸方向に\( \ \color{#0004fc}{\frac{ニ}{ヌ}} \ \), \( \ y \ \)軸方向に\( \ \color{#0004fc}{\frac{ネノ}{ハ}} \ \)だけ平行移動したものである。

$$\begin{align}グラフ\mathrm{G}の頂点の座標に\quad &b=5 \ , \ a=1 \ を代入すると, \\ &\left( \frac{3}{2} \ , \ -\frac{1}{4}\right) \\ y=x^2 \ の頂点は,&\left( 0 \ , \ 0\right) \quad だから,\end{align}$$
$$\begin{align} グラフ \ \mathrm{G} \ は2次関数 \ &y=x^2 \ のグラフを \ \\ &x \ 軸方向に \ \color{#0004fc}{\frac{3}{2}} \ ,\\ &y \ 軸方向に \ \color{#0004fc}{\frac{-1}{4}} \ だけ平行移動したものである. \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

2次関数は、とにかく頂点と軸を意識することが大切です。
平方完成や上の頂点を求める公式を使う計算練習をガッツリやって、機械的にスピーディにできるようになっておきましょう。

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Posted by Lukia_74