中学数学の「重さがわからない3種類の食塩水の濃度」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月3日中学数学Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検3級

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KEYWORDS中学数学 , 食塩水の濃度 , 数学検定3級

問題

problem

 

\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ \)のビーカーにそれぞれ\( \ 10 \ \)% , \( \ 7.5 \ \)% , \( \ 6 \ \)%の食塩水が入っている。\( \ \mathrm{A} \ \)と\( \ \mathrm{B} \ \)をすべて混ぜると\( \ 8 \ \)%の食塩水となる。
一方、\( \ \mathrm{B} \ \)と\( \ \mathrm{C} \ \)をすべて混ぜると\( \ 7 \ \)%の食塩水となる。
このとき,\( \ \mathrm{A} \ , \ \mathrm{B} \ , \ \mathrm{C} \ \)をすべて混ぜると何%の食塩水となるか。

重さの記述がない!

!!

もも

ひさびさの食塩水問題!
でも、よく見たら3種類の食塩水、どれも重さが書いてないですよッ!!
Lukia_74

Lukia

そ~ですねぇ。困りましたねぇ。
?

もも

困りましたねぇ。って、他人事みたいな言い方してぇ・・・。
Lukia_74

Lukia

書いてないなら、勝手に決めちゃえばいいんです。
1種類だけ。それを基準にしていけば、その他2種類の食塩水の重さも、表現できるでしょ?
♪

もも

なるほど。1種類だけ決めるか。
そうすれば、いつも通りの計算方法に持ち込めますね。

食塩水Aの重さを仮定する。

Lukia_74

Lukia

では、食塩水\( \ \mathrm{A} \ \)が\( \ 100 \ \)gあると仮定してください。
\( \ \alpha \ \)gとか、\( \ x \ \)gなどとおいてもいいんですが、文字だらけになったら、中学生の場合しんどいかもしれません。
(中学生でも自信のある方は、\( \ x \ \)gなどで計算してみてください。)

$$\begin{align}食塩水 \ \mathrm{A} \ が& \ 100 \ gあると仮定する. \\ また, \ 食塩水 \ \mathrm{B} \ の&重さを \ x \ gとする. \end{align}$$

A B できあがり
$$10$$ $$7.5$$ $$8$$
百分率 $$ \frac{10}{100}$$ $$ \frac{7.5}{100}$$ $$ \frac{8}{100}$$
$$\color{#0004fc}{\times }$$ $$\color{#0004fc}{\times }$$ $$\color{#0004fc}{\times }$$
全体の重さ $$100$$ $$\color{#f700ca}{+}$$ $$x$$ $$\color{#f700ca}{=}$$ $$\left( 100+x\right)$$
$$\color{#0004fc}{=}$$ $$\color{#0004fc}{=}$$ $$\color{#0004fc}{=}$$
食塩の重さ $$ \frac{10}{100}\times 100$$ $$\color{#f700ca}{+}$$ $$ \frac{7.5}{100}\times x$$ $$\color{#f700ca}{=}$$ $$ \frac{8}{100}\times \left( 100+x\right)$$

$$\begin{align}\frac{10}{100}\color{#0004fc}{\times} 100\color{#f700ca}{+}\frac{7.5}{100}\color{#0004fc}{\times }x=&\frac{8}{100}\color{#0004fc}{\times }\left( 100\color{#f700ca}{+}x\right) \\ \\ 1000+7.5x=&800+8x \\ 0.5x=&200\\ x=&400 \end{align}$$

♪

もも

食塩水\( \ \mathrm{B} \ \)は\( \ 400 \ \)gもあるんですね。
Lukia_74

Lukia

そのようですねぇ。では、食塩水\( \ \mathrm{B} \ \)の重さをもとに
食塩水\( \ \mathrm{C} \ \)の重さも求めてしまいましょう。

おかげで、いつもどおりに計算できる。

$$食塩水 \ \mathrm{C} \ の重さを \ y \ gとする.$$

B C できあがり
7.5 6 7
百分率 $$\frac{7.5}{100}$$ $$\frac{6}{100}$$ $$\frac{7}{100}$$
$$\color{#0004fc}{\times }$$ $$\color{#0004fc}{\times }$$ $$\color{#0004fc}{\times }$$
全体の重さ 400 $$\color{#f700ca}{+}$$ $$y$$ $$\color{#f700ca}{=}$$ $$\left( 400\color{#f700ca}{+}y\right)$$
$$\color{#0004fc}{=}$$ $$\color{#0004fc}{=}$$ $$\color{#0004fc}{=}$$
食塩の重さ $$\frac{7.5}{100}\color{#0004fc}{\times }400$$ $$\color{#f700ca}{+}$$ $$\frac{6}{100}\color{#0004fc}{\times }y$$ $$\color{#f700ca}{=}$$ $$\frac{7}{100}\color{#0004fc}{\times }\left( 400\color{#f700ca}{+}y\right)$$

$$\begin{align}\frac{7.5}{100}\color{#0004fc}{\times }400\color{#f700ca}{+}\frac{6}{100}\color{#0004fc}{\times }y=&\frac{7}{100}\color{#0004fc}{\times }\left( 400\color{#f700ca}{+}y\right) \\ 7.5\times 400+6y=&2800+7y \\ y=&200 \end{align}$$

♪

もも

食塩水\( \ \mathrm{C} \ \)は\( \ 200 \ \)gあるとわかりました。
Lukia_74

Lukia

もうここまでくれば、難しくないですね。
一気に計算してしまいましょう。

いよいよ濃度を求めます。

$$3種類の食塩水をすべて混ぜ合わせてできる食塩水の濃度を \ z \ % \ とする.$$
$$\begin{align}\frac{10}{100}\times 100+\frac{7.5}{100}\times 400+\frac{6}{100}\times 200=&\frac{z}{100}\times \left( 100+400+200\right) \\ \\ 1000+7.5\times 400+1200=&700z \\ \\ 10+7.5\times 4+12=&7z\\ \\ 7z=&52\\ \\ z=&\frac{52}{7} \end{align}$$

こたえ

$$\frac{52}{7} \ %$$

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Posted by Lukia_74