中学数学の食塩水の濃度の問題(番外編:計算をくふうする)

2018年6月30日中学数学, 化学, 毒物劇物取扱者試験Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学検定, 数検3級

読了時間: 約425

中学数学は、めんどくささの端境期。

Left Caption

Lukia

今回は、番外編です。
計算のめんどくささでいえば、中学数学は小学校の算数に次ぐと思われます。
Right Caption

もも

小学校は、計算のドリルとかいっぱいやっていましたもんね。
Left Caption

Lukia

計算力をつけさせるため。ということだと思いますけどね。
学年が上がるにつれて、より抽象的なことを考えなければならなくなるので、
そのぶん計算に手間取るようでは困るんですよね。
Left Caption

Lukia

低学年のうちに、機械的に手を動かせるようにしておけば、
高学年になって、抽象的な思考に頭を使えるようになります。
Left Caption

Lukia

中学数学は、いわばその端境期で、
具体的に計算するのと、文字を使って抽象的に考えることをやらねばならないので、
結構大変なんですよね。
Right Caption

もも

高校では計算しないんですか?
Left Caption

Lukia

う~ん、まったくやらないわけではないのですが、ほとんど文字に置き換わっちゃいますね。
たとえば、小学校で円の面積というと、
半径5センチならば、
\(\Large 5\times 5\times 3.14\) と式を立てて計算します。
ちなみに、答えは78.5㎠です。
Left Caption

Lukia

中学生になると、円周率は、π(パイ)に置き換えられるので、
同じ問題でも、\(\Large 5\times 5\times \pi=25\pi\) と式を立て、
25π㎠と答えればよいことになります。
Right Caption

もも

なるほど。
Left Caption

Lukia

高校数学になると、半径5センチなんて、数や単位がついていることはまれで、
半径を r とする。なんてことに。
ゆえに、 \(\Large \pi r^2\)と表されます。
Right Caption

もも

うわ~、「5センチ」が消えてる!
Left Caption

Lukia

はい。高校数学だと、式は立てておくから、
必要なら r に「5センチ」を入れなさいよ。というスタンスに変わるんですね。
Right Caption

もも

計算しなくていいのは、楽そうでいいけれど、
具体的なイメージがわきにくいですね。
Left Caption

Lukia

まぁ、そうともいえますね。
高校数学では具体的な数を計算することは減るのですが、
逆に理科、特に化学は計算量が増えます。
Right Caption

もも

ひえぇ。
Left Caption

Lukia

濃度に関する計算は、結構ガッツリ出ますよ。
Right Caption

もも

のの~・・・(汗)
Left Caption

Lukia

前置きが長くなりましたが、分数や小数点の計算などが苦手な人のために、
こんな計算のくふうはいかがですか?という提案をしてみたいと思います。

問題



表に書き込む。

 

Right Caption

もも

いつもの表を描きますか?

Left Caption

Lukia

そうですね。しかし、今回は、1種類の食塩水だけなので、
横長の線を3等分するように、縦の線を2本引きましょう。
Left Caption

Lukia

今回は、「計算のくふう」に重点をおきたいので、
数字を書き込んだ表を示しますね。

計算してみる。

Left Caption

Lukia

ここからは、ふきだしなしで書いていきますね。

表より式を立てます。
$$\Large \frac{8}{100}\times x=10$$
すなわち、
$$\Large \frac{8}{100}x=10$$

を解きます。

まず、両辺の分子を約分します。
すると、
$$\Large \frac{4}{100}x=5$$

となりますね。

すると、
$$\Large \frac{100}{100}x=5\times 25$$
すなわち、
$$\Large x=125$$

が導かれます。

分母の100はできるだけ最後まではらわない。

Right Caption

もも

わぁっ、左辺が\(\Large \frac{100}{100}\) となって、簡単に消えちゃいましたね。
Left Caption

Lukia

計算するときに、分母があると大変ですよね。
しかし、もし分母が、100とか1000などのような、きれいな数というか、きりのいい数字だったら、
あんまり動かさないほうがいいのです。
Right Caption

もも

たしかに、両辺に100をかけて。とか、
\(\Large x\)について解く。などの方法がありますけど、
分数を反対の辺に移動させるときは、逆数にしなくちゃ。とか思うと、
それだけでエネルギー奪われる気がしますね。
Left Caption

Lukia

まず、=(イコール)でつながれているのなら、
両辺に同じ操作をしてやらなければならないことは覚えておいてくださいね。
左辺に何かを足したなら、右辺にも同じものを足してやらねばならないし、
左辺を何かで割ったなら、右辺も同じもので割ってやらねばなりません。
Left Caption

Lukia

こういう操作は高校数学でもよくやるんですよね。
たとえば、分子分母に同じものをかける。とかね。
Right Caption

もも

分子分母に同じもの?
Left Caption

Lukia

たとえばこんな感じですかね。

例題1

$$\Large \sin \theta=\sin 2\times \frac{\theta}{2}$$

Left Caption

Lukia

アルファベット部分は無視してもらっていいのですが、
\(\Large \theta=\frac{2}{2}\theta\) といってもさしつかえないでしょ?
ちなみに、 \(\Large \theta\) は、「シータ」と読みます。
Right Caption

もも

分子と分母が同じ数なら、1となるし、
\(\Large 1\theta\) とは書かずに、\(\Large \theta\) と書く。というルールがありますもんね。

例題2

Left Caption

Lukia

たとえば、 \(\Large \frac{1.1}{4}\) を計算し、小数第3位を四捨五入して答えよ。
なんて問題が出たらどうします?
Right Caption

もも

\(\Large 1.1÷4\) をする・・・かな。
Left Caption

Lukia

どうせ計算しなくちゃいけないなら、わり算よりかけ算のほうが楽です。


分子の小数点がうっとうしいので、

小数第3位を四捨五入して、
$$\Large 0.28$$

Right Caption

もも

ホントだ。場合によっては、わり算のほうが早いかもしれないけど、
気分的にはかけ算のほうが楽ですね。

コロンブスの卵

Left Caption

Lukia

どんなに気をつけても、人間はミスをします。
小数点の位置の間違いなんて、大人でもやっちゃいますからね。
高校化学では、ものすご~く小さい世界のことを計算させたりするので、
ギリッギリまで小数点をいじらないようにするくふうが必要になるんです。
Left Caption

Lukia

高校数学でも、例題1のように、
どうせ1になるんだから、\(\Large \frac{2}{2}\) をかけてもいいでしょ。というようなものがちょいちょい出てきます。
Right Caption

もも

そうなんですねぇ。
Left Caption

Lukia

そんなやりかたずるいだろ!とというか、
あっちゃ~、やられた~!と思わされることが結構ありますね。
わたしにとっては、「コロンブスの卵」みたいなもんです。
Right Caption

もも

たしかに、文字ばっかりの式を立てていると、
案外こういう「あたりまえ」のことに気づけなくなるのかもしれませんね。
Left Caption

Lukia

ホント、中学生なのに、よくわかってますねぇ。
誰が生み出したんだか・・・。

カテゴリー