高校数学の「分数不等式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 分数関数 , 分数不等式 , 数学検定準1級

問題

problem

以下の不等式をグラフを描いて解け.
$$\frac{x^2-2x}{x+1} \gt 0$$ 

分子をシンプルに。

Lukia_74

Lukia

今は、小学校の算数でいう仮分数のような状態です。
(\( \ \frac{8}{3} \ \)のような)
これを帯分数のような状態にします。(\( \ 2\frac{2}{3} \ \)のような)
分母で分子を割り、分子にはこれ以上割れない余りがのっているだけの状態にします。

$$\begin{align}\frac{x^2-2x}{x+1}=&\frac{x\left( x+1\right)-3x}{x+1} \\ =&x-\frac{3\left( x+1\right)-3}{x+1} \\ =&x-3+\frac{3}{x+1} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

変形したことによって、直線の式と、双曲線の式になりました。
直線の式のほうを移項して、不等式にします。

$$\begin{align}与式=x-3+\frac{3}{x+1} \gt &0 \\ \frac{3}{x+1} \gt &-x+3 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

双曲線は、漸近線が\( \ x=-1 \ , \ y=0 \ \)にあり、漸近線を軸とすると、第1象限と第3象限を通る曲線です。
これが、直線\( \ y=-x+3 \ \)よりも上にあるのはいつか。ということが問われているとわかりますね。


グラフより
$$-1 \lt x \lt 0 \ , \ 2 \lt x$$

こたえ


$$-1 \lt x \lt 0 \ , \ 2 \lt x$$

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