高校数学の「タンジェントがらみの三角方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角方程式 , tanθを変形 , 関数の合成 , 数学検定2級

問題

problem

 

\(\tan \theta\left( \tan \theta+2\right)=1\)を解け。
ただし\(0 \leqq \theta \leqq \pi\)である。

tanθを変形しよう。

$$\begin{align}\tan \theta\left( \tan \theta+2\right)=&1 \\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\left( \frac{\sin \theta+2\cos \theta}{\cos \theta}\right)=&1 \\ \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\frac{2\sin \theta}{\cos \theta}=&1 \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、\cos \theta \neq 0\quad すなわち&\theta \neq \frac{ \pi }{ 2 } \ と仮定する。 \\ 両辺に\cos^{2} \thetaをかけて& \\\sin^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta =&\cos^{2} \theta\\ 1-\cos^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta=&\cos^{2} \theta\\ 2\sin \theta\cos \theta=&2\cos^{2} \theta-1\\ \sin 2\theta=&\cos 2\theta\\ \sin 2\theta-\cos 2\theta=&0\\\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&0\cdots\cdots\color{#0004fc}{★} \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}0 \leqq &\theta \leqq \pi \\ 0 \leqq &2\theta \leqq 2\pi \\ -\frac{ \pi }{ 4 } \leqq &2\theta-\frac{ \pi }{ 4 } \leqq 2\pi-\frac{ \pi }{ 4 }\end{align}$$
以上より、が成り立つのは、
$$2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=0 \ , \ \pi\quad のとき。$$
$$\begin{align}2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=&0 \\ 2\theta=&\frac{ \pi }{ 4 } \\ \theta=&\frac{ \pi }{ 8 } \end{align}$$
$$\begin{align}2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=&\pi \\ 2\theta=&{\frac{ 5 }{ 4 }}\pi \\ \theta=&{\frac{ 5 }{ 8 }}\pi \end{align}$$
$$\left( いずれも \ \theta \neq \frac{ \pi }{ 2 }であるので仮定は成り立つ.\right)$$

こたえ

$$\theta=\frac{ \pi }{ 8 } \ , \ {\frac{ 5 }{ 8 }}\pi$$

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