高校数学の「タンジェントがらみの三角方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年11月24日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
\(\tan \theta\left( \tan \theta+2\right)=1\)を解け。
ただし\(0 \leq \theta \leq \pi\)である。

tanθを変形しよう。

$$\begin{align}\tan \theta\left( \tan \theta+2\right)=&1 \\\\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\left( \frac{\sin \theta+2\cos \theta}{\cos \theta}\right)=&1 \\\\ \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\frac{2\sin \theta}{\cos \theta}=&1 \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、\cos \theta \neq 0\quad すなわち&\theta \neq \frac{ \pi }{ 2 } \ と仮定する。 \\\\ 両辺に\cos^{2} \thetaをかけて& \\\\ \sin^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta =&\cos^{2} \theta\\\\ 1-\cos^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta=&\cos^{2} \theta\\\\ 2\sin \theta\cos \theta=&2\cos^{2} \theta-1\\\\ \sin 2\theta=&\cos 2\theta\\\\ \sin 2\theta-\cos 2\theta=&0\\\ \sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&0\cdots\cdots\color{#0004fc}{★} \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}0 \leq &\theta \leq \pi \\\\ 0 \leq &2\theta \leq 2\pi \\\\ -\frac{ \pi }{ 4 } \leq &2\theta-\frac{ \pi }{ 4 } \leq 2\pi-\frac{ \pi }{ 4 }\end{align}$$
以上より、が成り立つのは、
$$2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=0 \ , \ \pi\quad のとき。$$
$$\begin{align}2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=&0 \\\\ 2\theta=&\frac{ \pi }{ 4 } \\\\ \theta=&\frac{ \pi }{ 8 } \end{align}$$
$$\begin{align}2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }=&\pi \\\\ 2\theta=&{\frac{ 5 }{ 4 }}\pi \\\\ \theta=&{\frac{ 5 }{ 8 }}\pi \end{align}$$
$$\left( いずれも \ \theta \neq \frac{ \pi }{ 2 }であるので仮定は成り立つ.\right)$$

こたえ

$$\theta=\frac{ \pi }{ 8 } \ , \ {\frac{ 5 }{ 8 }}\pi$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74