高校数学の「漸化式(特性方程式を用いて解く)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月22日数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約218

KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 特性方程式 , 数学検定2級

問題

problem

数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) は
\( \ a_1=1 \ , \ a_2=5 \ \) であり, 
\( \ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 \ \)が成り立つ.
\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)を用いて表せ.

特性方程式を解く.
$$\begin{align}x^2-5x+6=&0 \\ \left( x-2\right)\left( x-3\right)=&0 \\ x=&2 \ , \ 3 \end{align}$$
$$\begin{align}a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=&0\quad は \\ \left( a_{n+2}-3a_{n+1}\right)=&2\left( a_{n+1}-3a_n\right) \quad とおける.\\ &b_n=a_{n+1}-3a_n\quad とすると,\\ b_{n+1}=&2b_n \ , \ b_1=a_2-3a_1=2\quad より\\ b_n=&2\cdot 2^{n-1}=2^n \end{align}$$
$$\begin{align}a_{n+1}-3a_n=&2^n\quad の両辺を \ 3^{n+1} \ で割る. \\ \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\frac{3a_n}{3\cdot 3^n}=&\frac{2^n}{3\cdot 3^n} \\ ここで \ c_n=&\frac{a_n}{3^n} \ とする.\\ また \ c_1=&\frac{1}{3} \ である. \\ c_{n+1}-c_n=&\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$

Lukia_74

Lukia

左辺の形から、階差数列の公式(?)にあてはめられそうですね。

$$\begin{align} c_n=&c_1+\sum_{k=1}^{n-1}{\left( c_{k+1}-c_k\right)} \quad \left( n \geqq 2\right)\\ =&\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}\\ =&\frac{1}{3}+1-\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}\\ =&\frac{4}{3}-\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} \\ &また \ c_n \ は \ n=1 \ のときも成り立つ. \end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&3^n\cdot c_n \\ =&3^n\lbrace \frac{4}{3}-\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}\rbrace \\ =&4\cdot 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1} \end{align}$$

こたえ


$$a_n=4\cdot 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}$$

カテゴリー

2019年1月22日数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

Posted by Lukia_74