高校数学の「置換積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

$$\begin{align}\displaystyle\frac{x+\pi}{4}=&\theta\quad とする. \\\\ x+\pi=&4\theta \\\\ x=&4\theta-\pi \end{align}$$
$$\begin{align}x+\pi=&4\theta \ の両辺を \ x \ で微分する. \\\\ 1=&4\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{dx}\quad より \\\\ dx=&4d\theta \end{align}$$
また,
$$x$$ | $$0\quad →\quad \pi$$ |
$$\theta$$ | $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }\quad →\quad \displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }$$ |
$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta-\pi\right)\cos \theta\cdot 4 d\theta \\\\ =&4\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta\cos \theta-\pi\cos \theta\right) d\theta \\\\ =&4\left[4\theta\sin \theta-4\cos \theta-\pi\sin \theta\right]_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }}\\\\ =&4\pi+8\sqrt{2} \end{align}$$
こたえ
$$4\pi+8\sqrt{2}$$