高校数学の「置換積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年1月18日2020年9月24日積分とその応用Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準1級

問題

$$\int_{0}^{\pi} x\cos \frac{x+\pi}{4} dx$$

$$\begin{align}\frac{x+\pi}{4}=&\theta\quad とする. \ x+\pi=&4\theta \ x=&4\theta-\pi \end{align}$$
$$\begin{align}x+\pi=&4\theta \ の両辺を \ x \ で微分する. \ 1=&4\cdot \frac{d\theta}{dx}\quad より \ dx=&4d\theta \end{align}$$
また,

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta-\pi\right)\cos \theta\cdot 4 d\theta \ =&4\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta\cos \theta-\pi\cos \theta\right) d\theta \ =&4\left[4\theta\sin \theta-4\cos \theta-\pi\sin \theta\right]_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }}\ =&4\pi+8\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ

$$4\pi+8\sqrt{2}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。