高校数学の「置換積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月18日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\cos \displaystyle\frac{x+\pi}{4} dx$$

$$\begin{align}\displaystyle\frac{x+\pi}{4}=&\theta\quad とする. \\\\ x+\pi=&4\theta \\\\ x=&4\theta-\pi \end{align}$$
$$\begin{align}x+\pi=&4\theta \ の両辺を \ x \ で微分する. \\\\ 1=&4\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{dx}\quad より \\\\ dx=&4d\theta \end{align}$$
また,

$$x$$ $$0\quad →\quad \pi$$
$$\theta$$ $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }\quad →\quad \displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }$$

$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta-\pi\right)\cos \theta\cdot 4 d\theta \\\\ =&4\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta\cos \theta-\pi\cos \theta\right) d\theta \\\\ =&4\left[4\theta\sin \theta-4\cos \theta-\pi\sin \theta\right]_{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }}\\\\ =&4\pi+8\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ

$$4\pi+8\sqrt{2}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年1月18日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74