高校数学の「置換積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 数学Ⅲ内容 , 置換積分 , 数学検定準1級

問題

problem

 

$$\int_{0}^{\pi} x\cos \frac{x+\pi}{4} dx$$

$$\begin{align}\frac{x+\pi}{4}=&\theta\quad とする. \\ x+\pi=&4\theta \\ x=&4\theta-\pi \end{align}$$
$$\begin{align}x+\pi=&4\theta \ の両辺を \ x \ で微分する. \\ 1=&4\cdot \frac{d\theta}{dx}\quad より \\ dx=&4d\theta \end{align}$$
また,

$$x$$ $$0\quad →\quad \pi$$
$$\theta$$ $$\frac{ \pi }{ 4 }\quad →\quad \frac{ \pi }{ 2 }$$

$$\begin{align}与式=&\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta-\pi\right)\cos \theta\cdot 4 d\theta \\ =&4\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 4\theta\cos \theta-\pi\cos \theta\right) d\theta \\ =&4\left[4\theta\sin \theta-4\cos \theta-\pi\sin \theta\right]_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }}\\ =&4\pi+8\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ

$$4\pi+8\sqrt{2}$$

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