分数の形をとる式を積分する。(その2)

2018年7月17日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定(以下数検)」の受検にむけ、「発見」に掲載されている過去問を解きながら、
「見直しノート」を作成しています。

今回も、前回に引き続き、分数の形をとる式を積分するときに、
つまずいてしまいましたので、「コロンブスの卵」タグをつけて、
解答例を示してみようと思います。

問題

$$\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2}{1+x^2} dx を求めよ。$$

解答例

$$ \begin{align}与式&= \displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{\color{red}{\left( 1+x^2\right)-1}}{1+x^2} dx\\ &= \displaystyle\int_0^1 \left( 1-\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\right) dx\\ &=\left[x\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx\end{align}$$

ここで、 \( \ x=\tan \theta \ \) とする。
両辺を \( \ x \ \) で微分する。

$$\begin{align}1=&\left( 1+tan^{2} \theta\right)\cdot \displaystyle\frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x } より、
\\
dx=&\left( 1+tan^{2} \theta \right)\cdot d\theta \\ \end{align}$$
$$\begin{align}与式&= 1-\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 }} \displaystyle\frac{1}{1+tan^{2} \theta}\cdot \left( 1+tan^{2} \theta \right) d\theta \\=&1-\displaystyle\frac{ \pi }{ 4 } \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74