分数の形をとる式を積分する。(その2）
2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定（以下数検）」の受検にむけ、「発見」に掲載されている過去問を解きながら、
「見直しノート」を作成しています。
今回も、前回に引き続き、分数の形をとる式を積分するときに、
つまずいてしまいましたので、「コロンブスの卵」タグをつけて、
解答例を示してみようと思います。
問題
$$\Large \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx を求めよ。$$
解答例
$$\Large \begin{align}与式&= \int_0^1 \frac{\color{red}{\left( 1+x^2\right)-1}}{1+x^2} dx\ &= \int_0^1 \left( 1-\frac{1}{1+x^2}\right) dx\ &=\left[x\right]_0^1 -\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx\end{align}$$
$$\Large ここで、 x=\tan \theta とする。\\Large 両辺を x で微分する。\\Large 1=\left( 1+tan^{2} \theta\right)\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x } より、\\Large dx=\left( 1+tan^{2} \theta \right)\cdot d\theta$$
$$\Large \begin{align}与式&= 1-\int_0^{\frac{ \pi }{ 4 }} \frac{1}{1+tan^{2} \theta}\cdot \left( 1+tan^{2} \theta \right) d\theta \\Large &= 1-\frac{ \pi }{ 4 } \end{align}$$
