分数の形をとる式を積分する。(その2）

2018年7月17日2018年10月17日数学検定準1級, 積分とその応用コロンブスの卵, 数学, 数学検定, 数検準1級

2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定（以下数検）」の受検にむけ、「発見」に掲載されている過去問を解きながら、
「見直しノート」を作成しています。

今回も、前回に引き続き、分数の形をとる式を積分するときに、
つまずいてしまいましたので、「コロンブスの卵」タグをつけて、
解答例を示してみようと思います。

問題

$$\Large \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx を求めよ。$$

解答例

$$\Large \begin{align}与式&= \int_0^1 \frac{\color{red}{\left( 1+x^2\right)-1}}{1+x^2} dx\\ &= \int_0^1 \left( 1-\frac{1}{1+x^2}\right) dx\\ &=\left[x\right]_0^1 -\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx\end{align}$$
$$\Large ここで、 x=\tan \theta とする。\\\Large 両辺を　x で微分する。\\\Large 1=\left( 1+tan^{2} \theta\right)\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x } より、\\\Large dx=\left( 1+tan^{2} \theta \right)\cdot d\theta$$
$$\Large \begin{align}与式&= 1-\int_0^{\frac{ \pi }{ 4 }} \frac{1}{1+tan^{2} \theta}\cdot \left( 1+tan^{2} \theta \right) d\theta \\\Large &= 1-\frac{ \pi }{ 4 } \end{align}$$