分数の形をとる式を積分する。(その2）

2018年7月17日2020年9月24日数学検定準1級,積分とその応用コロンブスの卵,数学,数学検定,数検準1級

2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定（以下数検）」の受検にむけ、「発見」に掲載されている過去問を解きながら、
「見直しノート」を作成しています。

今回も、前回に引き続き、分数の形をとる式を積分するときに、
つまずいてしまいましたので、「コロンブスの卵」タグをつけて、
解答例を示してみようと思います。

問題

$$\Large \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx を求めよ。$$

解答例

$$\Large \begin{align}与式&= \int_0^1 \frac{\color{red}{\left( 1+x^2\right)-1}}{1+x^2} dx\ &= \int_0^1 \left( 1-\frac{1}{1+x^2}\right) dx\ &=\left[x\right]_0^1 -\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx\end{align}$$
$$\Large ここで、 x=\tan \theta とする。\\Large 両辺を　x で微分する。\\Large 1=\left( 1+tan^{2} \theta\right)\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x } より、\\Large dx=\left( 1+tan^{2} \theta \right)\cdot d\theta$$
$$\Large \begin{align}与式&= 1-\int_0^{\frac{ \pi }{ 4 }} \frac{1}{1+tan^{2} \theta}\cdot \left( 1+tan^{2} \theta \right) d\theta \\Large &= 1-\frac{ \pi }{ 4 } \end{align}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。