高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その8)

2018年9月11日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生?恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今回の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

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Lukia

ディノさん、また食べすぎました・・・
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ディノ

ええ~、あれっぽっちでか?
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Lukia

ディノさんには、「あれっぽっち」でしょうが、
私には多すぎるんですよ~。
ディナさんが、せっせと焼いてくれるし。
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ディノ

かーちゃんは、世話を焼くのが好きだからな。
肉を焼くのなんて、なんてこたないんだろ。
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Lukia

ぐふぅ・・・苦しいです。
でも、みなさん、楽しそうでしたね。
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ディノ

そうだなぁ。かーちゃんがあの調子なんで、
なんだかんだで、いっつも誰か来てるよなぁ。
つか、オマエもチビたちに人気あったじゃん。
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Lukia

人気があるというか、珍しくてつつかれてた。って感じですけどね。
あのまま一緒にいたら、もみくちゃにされていたかもしれないので、
ディノさんが、「あっ、そういえば、まだわかんない問題があったんだった!」って言ってくれたのは助かりましたよ。
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ディノ

ま、実際あるしな。
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Lukia

じゃ、腹ごなしにやってみましょう。

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x+1 \vert}+\color{red}{\vert x-2 \vert}\leqq 5$$

簡単な図を描こう。

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Lukia

今回も、図を使って解いていきましょう。
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ディノ

おう。

範囲を設定しよう。

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Lukia

今回は不等式ですが、やることは同じです。
範囲を決める段階では、不等式の記号は全く関係ないので、
左辺をやっつけちゃえばいいですね。
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ディノ

そうか。じゃ、オレがやる。
\(\color{blue}{\vert x+1 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{blue}{-1}\)のときで、
\(\color{red}{\vert x-2 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{red}{2}\)のときだな。
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Lukia

はい。というわけで、図には、範囲が書き込めますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

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Lukia

じゃ、次は、範囲ごとに式を書き込んでいきましょう。
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ディノ

もう慣れてきたから、ちゃっちゃとやっちゃうぞ。
\(\color{blue}{y=\vert x+1 \vert}\)は、
\(y=\color{blue}{-x-1}\) \(\left( \color{blue}{x \leqq -1} のとき\right)\)
\(y=\color{blue}{x+2}\) \(\left( \color{blue}{-1 \leqq x} のとき\right)\)となり、
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ディノ

\(\color{red}{y=\vert x-2 \vert}\)は、
\(y=\color{red}{-x+2}\) \(\left( \color{red}{x \leqq 2} のとき\right)\)
\(y=\color{red}{x-2}\) \(\left( \color{red}{2 \leqq x} のとき\right)\)となるな。
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Lukia

さすが、早いですね~。
ディノさんは、以下の図のように書き込んでいます。

筆算する。

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ディノ

筆算は、簡単だ。
今回も、ふたつの絶対値が+(プラス)でつながっているから、
たし算の筆算をすればいいよな。
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ディノ

左が、\(-2x+1\)
真ん中が、\(3\)
右が \(2x-1\)になるな。

グラフを描くとこうなる。

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Lukia

ちなみに、グラフを描くとこうなりますね。

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ディノ

なんか、さかさまになったプリンみたいだな。
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Lukia

ああ、プリン・・・。
きれいな台形を保ってるところをみると、結構固めのプリンですね~。
柔らかいプリンもいいけど、スプーンを跳ね返しそうな弾力のあるプリンもおいしいですよねぇ・・・。

そのとき、勉強部屋のドアが、そぉっと閉まりました。

不等式を解く。

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Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、\(\leqq 5\) をつけて、不等式を解いてみましょう。
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ディノ

よし、じゃ、オレに任せろ。
左の範囲は、\(-2x+1\leqq 5\)
\(-2 \leqq x\) だ。
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ディノ

真ん中の範囲は、\(3\leqq 5\)
まぁ、あたりまえっちゃあたりまえだな。
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ディノ

右の範囲は、\(2x-1\leqq 5\)を解いて、
\(x \leqq 3\)となるな。
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Lukia

そうですね。
ちなみに、図は以下のようになりますね。

範囲を比較して答えを出す。

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Lukia

不等式の解を、実際に\(x\)軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、\(x\)軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、\(x\)軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。
今回は、わかりやすいように、\(x\)軸の下に青い線と赤い線で範囲を示しています。

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Lukia

青い矢印、赤い矢印は、それぞれの範囲に収まっていますし、
真ん中の範囲は、\(3 \leqq 5\)と満たしているので、
実は、\(-1 \leqq x \leqq 2\)の範囲で、紫の線が引けることになるんですね。
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ディノ

ということは、答えとしては、
\(-2 \leqq x \leqq 3\)ということか?
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Lukia

そうですね。

こたえ

$$\Large \vert x+1 \vert+\vert x-2 \vert\leqq 5$$
$$\Large -2 \leqq x \leqq 3$$

ディナさん、再び。

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ディナ

ディノちゃ~ん、おやつよぉ~~~♪
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ディノ

げっ、かぁちゃん!
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ディナ

親に向かって、「げっ」とはなによ。
「げっ」とは。(怒)

ディナさんは、恐竜なので、ちょっと怒ってもこわいです。
しかし、私のほうに向きなおると、

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ディノ

センセ~♪
不出来な息子に教えて、お疲れになったでしょぉ?
おやつにしましょ。おやつ。
甘いもの食べたら、ストレスも疲れもふっとんじゃいますからっ♪
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Lukia

いや、そんな、疲れたりストレスなんてたまってませんから。
それに、朝からいっぱいごちそうになってしまってますし・・・
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ディナ

オホホ、いいんですのよ、そんなこと。オホホ・・・
ちなみに、どうザマスか?宅のディノは。
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Lukia

(小さな声で)ディノさん、お母さんのキャラ、変わってませんか?
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ディノ

(やっぱり小声で)そうだな、ネコ型ロボットのアニメに出てくるお金持ちの子の母親モードが入ったみたいだな。
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Lukia

そのうち、「ディノちゃま」なんておっしゃるかもしれませんね。(笑)
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ディノ

ええ~、やめろよ。そんな恐ろしい想像はよぉ。
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ディナ

センッセ?
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Lukia

あっ、あはっ、ディノさんは、とっても飲み込みが早くて、
素晴らしいと思います。
もう、私の助けも必要ないかと・・・
それに、お母さん、私は「先生」では・・・。
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ディノ

んまぁ~~~っ、おっそれいりますぅ~!
宅のディノをそんなに褒めていただいてッ。
ディノ~、いい先生が見つかってよかったわねぇ~。
さっ、センッセ、おやつにいたしましょッ。
先ほど、プリンのお話が出てましたでしょ?
作りましたのよッ♪
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ディノ

うおぉ、かーちゃん、プリンかよ~!
かーちゃんのは、うめぇんだぞ!

ディノさんまで、テンションが上がってしまい、私は、帰りたいと言い出せなくなってしまいました。
ダイニングに行くと、先ほど一緒にバーベキューをした近所のお母さん恐竜や、チビ恐竜たちが、
嬉しそうにプリンを食べていました。

みんな、ディナさんの姉御肌気質が大好きで、居心地がいいのか、
楽しそうにおしゃべりをしています。

なんだか、それを見ていると、帰ることばかり考えていた私の気持ちも少し変わってきました。
ディノさんは、一応「ひらけた場所」に案内してくれるつもりではいるようですから、
ディノさんの問題が解決するまでは、お世話になろうと思いました。

そして、出てきたプリンのおいしいこと!

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Lukia

ディナさん、プリン、おいしいです。
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ディナ

そう?うれしいですわッ、ホホホッ・・・
たくさんあるから、遠慮なく召し上がってねッ。

恐竜サイズですから、ひとつで十分です・・・

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