高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。（その8）

2018年9月11日2018年9月28日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約5分29秒

自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生？恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今回の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

Lukia

ディノさん、また食べすぎました・・・

ディノ

ええ～、あれっぽっちでか？

Lukia

ディノさんには、「あれっぽっち」でしょうが、
私には多すぎるんですよ～。
ディナさんが、せっせと焼いてくれるし。

ディノ

かーちゃんは、世話を焼くのが好きだからな。
肉を焼くのなんて、なんてこたないんだろ。

Lukia

ぐふぅ・・・苦しいです。
でも、みなさん、楽しそうでしたね。

ディノ

そうだなぁ。かーちゃんがあの調子なんで、
なんだかんだで、いっつも誰か来てるよなぁ。
つか、オマエもチビたちに人気あったじゃん。

Lukia

人気があるというか、珍しくてつつかれてた。って感じですけどね。
あのまま一緒にいたら、もみくちゃにされていたかもしれないので、
ディノさんが、「あっ、そういえば、まだわかんない問題があったんだった！」って言ってくれたのは助かりましたよ。

ディノ

ま、実際あるしな。

Lukia

じゃ、腹ごなしにやってみましょう。

Contents

1. 問題
2. 簡単な図を描こう。
3. 範囲を設定しよう。
4. 範囲ごとに式を書き込んでいく。
5. 筆算する。
- 5.1. グラフを描くとこうなる。
6. 不等式を解く。
7. 範囲を比較して答えを出す。
8. こたえ
9. ディナさん、再び。
- 9.1. 関連

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x+1 \vert}+\color{red}{\vert x-2 \vert}\leqq 5$$

簡単な図を描こう。

Lukia

今回も、図を使って解いていきましょう。

ディノ

おう。

範囲を設定しよう。

Lukia

今回は不等式ですが、やることは同じです。
範囲を決める段階では、不等式の記号は全く関係ないので、
左辺をやっつけちゃえばいいですね。

ディノ

そうか。じゃ、オレがやる。
$\color{blue}{\vert x+1 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{blue}{-1}$のときで、
$\color{red}{\vert x-2 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{red}{2}$のときだな。

Lukia

はい。というわけで、図には、範囲が書き込めますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

Lukia

じゃ、次は、範囲ごとに式を書き込んでいきましょう。

ディノ

もう慣れてきたから、ちゃっちゃとやっちゃうぞ。
$\color{blue}{y=\vert x+1 \vert}$は、
$y=\color{blue}{-x-1}$　$\left( \color{blue}{x \leqq -1}　のとき\right)$
$y=\color{blue}{x+2}$　$\left( \color{blue}{-1 \leqq x}　のとき\right)$となり、

ディノ

$\color{red}{y=\vert x-2 \vert}$は、
$y=\color{red}{-x+2}$　$\left( \color{red}{x \leqq 2}　のとき\right)$
$y=\color{red}{x-2}$　$\left( \color{red}{2 \leqq x}　のとき\right)$となるな。

Lukia

さすが、早いですね～。
ディノさんは、以下の図のように書き込んでいます。

筆算する。

ディノ

筆算は、簡単だ。
今回も、ふたつの絶対値が+（プラス）でつながっているから、
たし算の筆算をすればいいよな。

ディノ

左が、$-2x+1$
真ん中が、$3$
右が　$2x-1$になるな。

グラフを描くとこうなる。

Lukia

ちなみに、グラフを描くとこうなりますね。

ディノ

なんか、さかさまになったプリンみたいだな。

Lukia

ああ、プリン・・・。
きれいな台形を保ってるところをみると、結構固めのプリンですね～。
柔らかいプリンもいいけど、スプーンを跳ね返しそうな弾力のあるプリンもおいしいですよねぇ・・・。

そのとき、勉強部屋のドアが、そぉっと閉まりました。

不等式を解く。

Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、$\leqq 5$　をつけて、不等式を解いてみましょう。

ディノ

よし、じゃ、オレに任せろ。
左の範囲は、$-2x+1\leqq 5$
$-2 \leqq x$　だ。

ディノ

真ん中の範囲は、$3\leqq 5$
まぁ、あたりまえっちゃあたりまえだな。

ディノ

右の範囲は、$2x-1\leqq 5$を解いて、
$x \leqq 3$となるな。

Lukia

そうですね。
ちなみに、図は以下のようになりますね。

範囲を比較して答えを出す。

Lukia

不等式の解を、実際に$x$軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、$x$軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、$x$軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。
今回は、わかりやすいように、$x$軸の下に青い線と赤い線で範囲を示しています。