2019年大学入試センター試験 数学2B「第4問 ベクトル」を解いてみる。

2019年1月27日ベクトル数学, 数学検定, 数検2級

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四角形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)を底面とする四角すい\( \ \mathrm{OABCD} \ \)を考える。
四角形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)は,辺\( \ \mathrm{AD} \ \)と辺\( \ \mathrm{BC} \ \)が平行で,\( \ \mathrm{AB}=\mathrm{CD} \ \), \( \ \angle \mathrm{ABC}= \ \angle \mathrm{BCD} \ \)を満たすとする。
さらに,\( \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c} \ \)として
\( \ \vert \overrightarrow{a} \vert=1,\quad \quad\vert \overrightarrow{b} \vert=\sqrt{3},\quad \quad\vert \overrightarrow{c} \vert=\sqrt{5}\quad \quad \ \)
\( \ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1,\quad \quad \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=3,\quad \quad \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0 \ \) であるとする。(1) \( \ \angle \mathrm{AOC}=\color{#0004fc}{アイ}^{\circ} \ \)により,三角形\( \ \mathrm{OAC} \ \)の面積は\( \ \color{#0004fc}{\frac{\sqrt{ウ}}{エ}} \ \)である。

$$\begin{align}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0 \ より\quad \angle \mathrm{AOC}=&\color{#0004fc}{90}^{\circ} \\ 三角形 \ \mathrm{OAC} \ の面積を\mathrm{S}とする.\\ \mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{OA\cdot OC}=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{align}$$

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(2) \( \ \overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\color{#0004fc}{オカ} \ , \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BA}} \vert=\sqrt{\color{#0004fc}{キ}} \ , \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BC}}\vert=\sqrt{\color{#0004fc}{ク}} \ \) であるから,
\( \ \angle \mathrm{ABC}=\color{#0004fc}{ケコサ}^{\circ} \ \) である。
さらに,辺\( \ \mathrm{AD} \ \)と辺\( \ \mathrm{BC} \ \)が平行であるから,\( \ \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ADC}=\color{#0004fc}{シス}^{\circ} \ \) である。
よって, \( \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\color{#0004fc}{セ}\overrightarrow{\mathrm{BC}} \ \) であり
\( \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}-\color{#0004fc}{ソ}\overrightarrow{b}+\color{#0004fc}{タ}\overrightarrow{c} \ \) と表される。
また,四角形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)の面積は \( \ \color{#0004fc}{\frac{チ\sqrt{ツ}}{テ}} \ \) である。
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ここからは、いよいよベクトルに関するさまざまな計算をしていくわけですが、ひとつ提案してみたいのが、「生物の遺伝」式かけ算です。(インド式計算ともいえるかな?)
センター試験で厄介な点は、計算スペースの確保です。
通常のベクトルの計算だと、どんどん横に長くなっていきますので、ほかのことに使おうとしても、消しゴムで計算を消したりしなければなりません。
生物の遺伝で、雌雄の遺伝子から子の遺伝子を考える問題がありますが、そこで用いるようなマスを描いて、一気にかけ算し、
そのあとゆっくりたし算をするという、「計算のバッチ化」を行えば、省スペースで、結果も確実となります。

$$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\color{#0004fc}{-1}$$

$$\overrightarrow{a}$$ $$-\overrightarrow{b}$$
$$\overrightarrow{c}$$ $$0$$ $$-3$$
$$-\overrightarrow{b}$$ $$-1$$ $$3$$

$$\vert \overrightarrow{\mathrm{BA}}\vert=\sqrt{\color{#0004fc}{2}}$$

$$\overrightarrow{a}$$ $$-\overrightarrow{b}$$
$$\overrightarrow{a}$$ $$1$$ $$-1$$
$$-\overrightarrow{b}$$ $$-1$$ $$3$$

$$\vert \overrightarrow{\mathrm{BC}}\vert=\sqrt{\color{#0004fc}{2}}$$

$$\overrightarrow{c}$$ $$-\overrightarrow{b}$$
$$\overrightarrow{c}$$ $$5$$ $$-3$$
$$-\overrightarrow{b}$$ $$-3$$ $$3$$

$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{ABC}=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{BA}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \vert}=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\quad より \\ \\ \angle \mathrm{ABC}=&\color{#0004fc}{120}^{\circ} \end{align}$$

$$\begin{align}四角形 \ \mathrm{ABCD} \ は\mathrm{AB}=&\mathrm{DC} \ の等脚台形. \\ \mathrm{AD}//\mathrm{BC} \ より\angle \mathrm{BAC}は\angle &\mathrm{CBA}の外角と錯角の関係にあるので, \\ \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ADC}=&\color{#0004fc}{60}^{\circ} \end{align}$$

$$\begin{align}また, \ 四角形\mathrm{ABCD}は&一辺の長さ \ \sqrt{2} \ の正三角形が\\ 三つ合わさったものと&考えられるので, \\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=&\color{#0004fc}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} \\ \mathrm{S_{ABCD}}=&3\times \frac{1}{2}\times \left( \sqrt{2}\right)^2\times \sin 60^{\circ}\\ =&\color{#0004fc}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \end{align}$$

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(3) 三角形\( \ \mathrm{OAC} \ \)を底面とする三角錐\( \ \mathrm{BOAC} \ \)の体積\( \ \mathrm{V} \ \)をもとめよう。
3点\( \ \mathrm{O \ , \ A \ , \ C} \ \)の定める平面\( \ \alpha \ \)上に,点\( \ \mathrm{H} \ \)を\( \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \vec{a} \ \)と\( \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \vec{c} \ \)が成り立つようにとる。
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BH}} \vert \ \)は三角錐\( \ \mathrm{BOAC} \ \)の高さである。\( \ \mathrm{H} \ \)は\( \ \alpha \ \)上の点であるから,実数\( \ s \ , \ t \ \)を用いて\( \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{c} \ \)の形に表される。
\( \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \vec{a}=\color{#0004fc}{ト} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \vec{c}=ト \ \) により,
\( \ s=\color{#0004fc}{ナ} \ , \ t=\color{#0004fc}{\frac{ニ}{ヌ}} \ \) である。
よって, \( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{BH}} \vert=\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{ネ}}{ノ}} \ \) が得られる。
したがって, (1)により,\( \ \mathrm{V}=\color{#0004fc}{\frac{ハ}{ヒ}} \ \) であることがわかる。

条件より,
$$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \vec{a}=\color{#0004fc}{0} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \vec{c}=0$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{BH}}=&\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\vec{b} \\ =&s\vec{a}-\vec{b}+t\vec{c}\end{align}$$
$$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \vec{a} \ と \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \vec{c} \ を計算する.$$

$$s\vec{a}$$ $$-\vec{b}$$ $$t\vec{c}$$
$$\vec{a}$$ $$s$$ $$-1$$ $$0$$ $$=0$$
$$\vec{c}$$ $$0$$ $$-3$$ $$5t$$ $$=0$$

$$s=\color{#0004fc}{1} \ , \ t=\color{#0004fc}{\frac{3}{5}}$$

$$ゆえに, \ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=\vec{a}-\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{c} \ と表せる.$$

$$\vec{a}$$ $$-\vec{b}$$ $$\frac{3}{5}\vec{c}$$
$$\vec{a}$$ $$1$$ $$-1$$ $$0$$
$$-\vec{b}$$ $$-1$$ $$3$$ $$-\frac{9}{5}$$
$$\frac{3}{5}\vec{c}$$ $$0$$ $$-\frac{9}{5}$$ $$\frac{9}{5}$$

$$\begin{align}\vert \overrightarrow{\mathrm{BH}} \vert^2=&\frac{1}{5}\quad より \\ \vert \overrightarrow{\mathrm{BH}} \vert=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{ネ}}{ノ}}\end{align}$$

$$\begin{align}\mathrm{V}=&\frac{1}{3}\mathrm{S}\cdot \vert \overrightarrow{\mathrm{BH}} \vert=\color{#0004fc}{\frac{1}{6}} \end{align}$$

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(4) (3)の\( \ \mathrm{V} \ \)を用いると,四角錐\( \ \mathrm{OABCD} \ \)の体積は\( \ \color{#0004fc}{フ}\mathrm{V} \ \)と表せる。
さらに,四角形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)を底面とする四角錐\( \ \mathrm{OABCD} \ \)の高さは\( \ \color{#0004fc}{\frac{\sqrt{ヘ}}{ホ}} \ \) である。


二つの三角形の面積比
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{ACD}=&1:2 \ だから, \\ 四角錐\mathrm{OABCD}の体積は&\color{#0004fc}{3}\mathrm{V} \\ \\ ここで,求める高さを\quad &h \ とする.\\ 3\mathrm{V}=&\frac{1}{3}\times □\mathrm{ABCD}\times h\\ 3\cdot 3\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{6}=&h\\ h=&\color{#0004fc}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \end{align}$$

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はじめのうちは、四角形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)の形がイメージできないかもしれません。
ほとんどの人は、平行四辺形か、等脚台形の可能性があることまでは導けるでしょうが、
一発で\( \ \mathrm{AD} \gt \mathrm{BC} \ \)の等脚台形を想定するのは難しいと思います。
ベクトルの問題を解くときは、基本、反時計回りに点をおく図形をうす~く描いておき、情報が得られるたびに描き直していくのがいいと思います。
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ちなみに、図形に点を打つときは、反時計回りで。というのは、
私の長年の経験から得られたものです。
当然、例外(時計回りで点を打つ図形)もあるのですが、これはかなりまれなパターンです。

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Posted by Lukia_74