高校数学の「空間ベクトルの内分とその比」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 空間ベクトル , 内分比 , 数学検定2級

問題

problem
四面体\(\mathrm{OABC}\)において、\(\triangle \mathrm{ABC}\)の重心を\(\mathrm{G}\)、辺\(\mathrm{OA}\)を\(1:2\)に内分する点を\(\mathrm{D}\)、辺\(\mathrm{OC}\)を\(2:3\)に内分する点を\(\mathrm{E}\)とする。
直線\(\mathrm{OG}\)と平面\(\mathrm{DBE}\)の交点を\(\mathrm{P}\)とするとき、\(\mathrm{OP:OG}\)を求めよ。

不正確でもいいから図を描こう。

Lukia_74

Lukia

例によって、図を描きますが、すっごく「適当テキトー」です。
解き始めから正確な図が描けることはほとんどありません。
でも、「描かないよりは絶対マシ。」です。
大学入試センター試験では、はじめはうす~く描いておいて、ある程度辺の長さや角度がわかってきたところで、改めてできるだけ正確な図に描き直しましょう。
(図が正確になるとわかることなどもあるので、テキトーな図のままでは完答できない。なんて問題もあります)
Lukia_74

Lukia

ちなみに、経験則ですが、
「図形の頂点の記号は、反時計回りに描くと解きやすい」です。

Lukia_74

Lukia

辺の内分比や重心の位置を書き込みます。

Lukia_74

Lukia

辺\(\mathrm{OA}\)と辺\(\mathrm{OC}\)の内分比は、
辺\(\mathrm{OA}\)のほうは、3倍し、辺\(\mathrm{OC}\)のほうは2倍すれば、統一できそうですね。

わかっていることを書き出しながら解いていく。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&\overrightarrow{\mathrm{b}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}\quad とする。\\条件より \ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=&\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right) \\\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OG}}\quad \left( kは \ k \gt 0 \ を満たす実数\right) \ とする. \end{align}$$
$$\begin{align}また,点\mathrm{P}は \ 平面&\mathrm{DEB}上に存在するから, \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&l\overrightarrow{\mathrm{OD}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}+n\overrightarrow{\mathrm{OE}} \ \left( l+m+n=1 \ を満たす\right) \ と表せる。\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=&l\cdot \frac{3}{9}\overrightarrow{\mathrm{a}}+m\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{2}{5}n\overrightarrow{\mathrm{c}} \end{align}$$
以上より,
$$\begin{align}\frac{k}{3}=\frac{1}{3}l\quad すなわち \ l=&k \\\frac{k}{3}=m\quad すなわち \ m=&\frac{k}{3}\\\frac{k}{3}=\frac{2}{5}n\quad すなわち \ n=\frac{k}{3}\times \frac{5}{2}=&\frac{5}{6}k \end{align}$$
ここで,
$$\begin{align}l+m+n=&k+\frac{k}{3}+\frac{5}{6}k \\ =&\frac{k}{6}\left(6+2+5 \right) \\ \frac{13}{6}k=&1\quad より\\ \\ k=&\frac{6}{13} \end{align}$$
$$ゆえに\quad \mathrm{OP:OG}=6:13$$

Lukia_74

Lukia

今回は、内分比の統一は必要ありませんでしたね。(汗)
ま、練習がてら。ということで・・・

こたえ

$$\mathrm{OP:OG}=6:13$$

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