高校数学の「三次方程式の解」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 解と係数の関係 , 数学検定準2級

問題

problem

 

三次方程式\( \ x^3=8 \ \)の3つの解のうち、\( \ x=2 \ \)以外の2つの解を\( \ \alpha \ , \ \beta \ \)とおいたとき、\( \ \alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3 \ \)の値を求めよ。

解と係数の関係に持ち込もう

$$\begin{align}x^3-8=&0\quad より \\ \left( x-2\right)\left( x^2+2x+4\right)=&0\\ \\ x^2+2x+4=&0\quad の解が,\quad x=\alpha \ , \ x=\beta\quad であることから,\\ 解と係数の関係より\quad &\alpha+\beta=-2 \ , \ \alpha\beta=4\quad である. \end{align}$$

$$\begin{align}\alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3=&\left( \color{#0004fc}{\alpha^3+\beta^3}\right)+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\ =&\color{#0004fc}{\left( \alpha+\beta\right)^3-3\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)}+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\ =&\left( \alpha+\beta\right)^3-2\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)\\ =&\left( -2\right)^3-2\times 4\times \left( -2\right) \\ =&8 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

上の式で青い文字にしている\( \ \alpha^3+\beta^3 \ \)は、
\( \ \alpha^3+\beta^3=\color{#f700ca}{\left( \alpha+\beta\right)\left( \alpha^2-\alpha\beta+\beta^2\right)} \ \)
と変形することもできますが、解と係数の関係で導いた式がすぐに代入できる式を利用することにしました。
(ピンクの式もさらに変形すれば青い式になるんですけどね)

こたえ

$$8$$

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