高校数学の「三次方程式の解」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

解と係数の関係に持ち込もう

$$\begin{align}x^3-8=&0\quad より \\\\ \left( x-2\right)\left( x^2+2x+4\right)=&0\\\\ x^2+2x+4=&0\quad の解が,\quad x=\alpha \ , \ x=\beta\quad であることから,\\\\ 解と係数の関係より\quad &\alpha+\beta=-2 \ , \\\\ \alpha\beta=4\quad である. \end{align}$$

$$\begin{align}\alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3=&\left( \color{#0004fc}{\alpha^3+\beta^3}\right)+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\\\ =&\color{#0004fc}{\left( \alpha+\beta\right)^3-3\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)}+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\\\ =&\left( \alpha+\beta\right)^3-2\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)\\\\ =&\left( -2\right)^3-2\times 4\times \left( -2\right) \\\\ =&8 \end{align}$$

Lukia

上の式で青い文字にしている\( \ \alpha^3+\beta^3 \ \)は、
\( \ \alpha^3+\beta^3=\color{#f700ca}{\left( \alpha+\beta\right)\left( \alpha^2-\alpha\beta+\beta^2\right)} \ \)
と変形することもできますが、解と係数の関係で導いた式がすぐに代入できる式を利用することにしました。
（ピンクの式もさらに変形すれば青い式になるんですけどね）

こたえ

$$8$$