高校数学の「三次方程式の解」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年4月11日数と式,方程式・式と証明実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級,数検準2級

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[mathjax]

問題
三次方程式\( \ x^3=8 \ \)の3つの解のうち、\( \ x=2 \ \)以外の2つの解を\( \ \alpha \ , \ \beta \ \)とおいたとき、\( \ \alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3 \ \)の値を求めよ。

解と係数の関係に持ち込もう

$$\begin{align}x^3-8=&0\quad より \\\\ \left( x-2\right)\left( x^2+2x+4\right)=&0\\\\ x^2+2x+4=&0\quad の解が,\quad x=\alpha \ , \ x=\beta\quad であることから,\\\\ 解と係数の関係より\quad &\alpha+\beta=-2 \ , \\\\ \alpha\beta=4\quad である. \end{align}$$

$$\begin{align}\alpha^3+\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^3=&\left( \color{#0004fc}{\alpha^3+\beta^3}\right)+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\\\ =&\color{#0004fc}{\left( \alpha+\beta\right)^3-3\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)}+\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right) \\\\ =&\left( \alpha+\beta\right)^3-2\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)\\\\ =&\left( -2\right)^3-2\times 4\times \left( -2\right) \\\\ =&8 \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

上の式で青い文字にしている\( \ \alpha^3+\beta^3 \ \)は、
\( \ \alpha^3+\beta^3=\color{#f700ca}{\left( \alpha+\beta\right)\left( \alpha^2-\alpha\beta+\beta^2\right)} \ \)
と変形することもできますが、解と係数の関係で導いた式がすぐに代入できる式を利用することにしました。
(ピンクの式もさらに変形すれば青い式になるんですけどね)

こたえ

$$8$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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