高校数学の「桁が増えていく数列」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

規則性を読み取ろう。

Lukia

ぱっと見てすぐわかるのは、一の位です。項が進むにつれ、一の位の数が1ずつ増えていますね。

$$①\quad 3 \ / \ 33+1 \ / \ 333+2 \ / \ 3333+3 \ / \ 33333+4 \ / \ \cdots$$

Lukia

十の位以上の桁（位）には、ひたすら\( \ 3 \ \)が用いられているので、一の位と、十の位以上の桁を切り離して考えたほうがいいのかもしれません。

$$②\quad 3 \ / \ 30+3+1 \ / \ 330+3+2 \ / \ 3330+3+3 \ / \ 33330+3+4 \ / \ \cdots$$

Lukia

こうしてみると、前項を各位を\( \ 3 \ \)だけにして、それを\( \ 10 \ \)倍して、一の位を整えればいいような感じですね。

$$\begin{align}a_2=&10\times a_1+3+2-1 \\\\ a_3=&10\times \left( a_2-1\right)+3+3-1 \\\\ a_4=&10\times \left( a_3-2\right)+3+4-1\\\\ a_5=&10\times \left( a_4-3\right)+3+5-1 \end{align}$$
$$a_n=10\lbrace a_{n-1}-\left( n-2\right)\rbrace+3+n-1$$
整理して、
$$a_n=10\lbrace a_{n-1}-\left( n-2 \right)\rbrace+n+2$$
さらに整理して
$$\begin{align}a_n=&10 a_{n-1}-9n+22 \\\\ &a_1=3 \ , \ n \geq 2 \end{align}$$

nを消す工夫をする。

$$\begin{align}a_{n+1}=&10a_n-9n+13 \\\\ a_n=&10a_{n-1}-9n+22 \\\\ 辺々引くと\\\\ a_{n+1}-a_n=&10\left( a_n-a_{n-1}\right)-9 \end{align}$$
ここで
$$\begin{align}a_n-a_{n-1}=&b_{n-1}\quad \left( n \geq 2\right) \ とおく. \\\\ a_2-a_1=&b_1=31 \\\\ \left( b_{n+1}-\alpha\right)=&10\left( b_n-\alpha\right)\quad を解いて\\\\ \alpha=&1\\\\ \left( b_{n+1}-1\right)=&10\left( b_n-1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}c_n=&b_n-1\quad とする. \\\\ c_1=&30 \\\\ c_n=& 30\cdot \cdot 10^{n-1}\quad より\\\\ b_n=&30\cdot 10^{n-1}+1 \end{align}$$

$$\begin{align}a_n=&a_1+\sum_{k=1}^{n-1}{30\cdot 10^{k-1}} +\sum_{k=1}^{n-1}{1} \\\\ =&3+\frac{30\left( 1-10^{n-1}\right)}{1-10}+n-1 \\\\ =&2+n-\frac{10}{3}+\frac{\left( 10\right)^n}{3} \quad \left( n \geq 2\right)\end{align}$$
$$\begin{align}n=&1\quad のとき \\\\ a_1=&2+1-\frac{10}{3}+\frac{10^1}{3}=3\quad より \\\\ n=&1のときも成り立つ. \end{align}$$
ゆえに
$$a_n=2+n-\frac{10}{3}+\frac{10^n}{3}$$

こたえ

$$a_n=2+n-\frac{10}{3}+\frac{10^n}{3}$$