高校数学の「二次方程式が実数解をもつ条件」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月28日数と式実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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[mathjax]

問題
\(x\)の方程式\( \ a\left( x^2-x+1\right)=1+2x-2x^2\)が実数解をもつような実数\(a\)の値の範囲を求めよ。

$$\begin{align}\ a\left( x^2-x+1\right)=&1+2x-2x^2 \\ \left( a+2\right)x^2-\left( a+2\right)x+a-1=&0 \\ ここで\quad a+2=&k\quad とおく. \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

別に\(a+2=k\)とおく必要はないのですが、
いちいち\(a+2\)を書くのがめんどくさいもんで・・・。(^◇^;)

$$\begin{align}kx^2-kx+k-3=&0 \\ k\left( x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}k-3=&0 \\ 二次方程式が成り立つためには\quad k \neq &0\quad \cdots \ ①\\ また実数解をもつためには\quad &k \gt 0\quad かつ\quad \frac{3}{4}k-3 \leq 0\\ すなわち\quad &0 \lt k \leq 4 \quad \cdots \ ② \\ または\quad &k \lt 0\quad かつ\quad \frac{3}{4}k-3 \geq 0 \\ すなわち\quad &0 \lt k \ かつ \ 4 \leq k \quad \cdots \ ③ \end{align}$$
ただし③は条件を満たさないので不適。

Lukia_74

Lukia

「かつ」っていってるのに、数直線上の矢印がそっぽ向いてますからね。

以上を整理して、
$$\begin{align}k \neq 0\quad すなわち&a \neq -2\quad \cdots \ ① \\ 0 \lt k \leq 4\quad すなわち&-2 \lt a \leq 2\quad \cdots \ ②\\ \\ ゆえに\quad &-2 \lt a \leq 2 \end{align}$$

こたえ

$$-2 \lt a \leq 2$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月28日数と式実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74