高校数学の「二次方程式が実数解をもつ条件」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 二次方程式 , 実数解をもつ条件 , 数学検定準2級

問題

problem

\(x\)の方程式\( \ a\left( x^2-x+1\right)=1+2x-2x^2\)が実数解をもつような実数\(a\)の値の範囲を求めよ。

$$\begin{align}\ a\left( x^2-x+1\right)=&1+2x-2x^2 \\\\ \left( a+2\right)x^2-\left( a+2\right)x+a-1=&0 \\\\ ここで\quad a+2=&k\quad とおく. \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

別に\(a+2=k\)とおく必要はないのですが、
いちいち\(a+2\)を書くのがめんどくさいもんで・・・。(^◇^;)

$$\begin{align}kx^2-kx+k-3=&0 \\\\ k\left( x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}k-3=&0 \\\\ 二次方程式が成り立つためには\quad k \neq &0\quad \cdots \ ①\\\\ また実数解をもつためには\quad &k \gt 0\quad かつ\quad \frac{3}{4}k-3 \leqq 0\\\\ すなわち\quad &0 \lt k \leqq 4 \quad \cdots \ ② \\\\ または\quad &k \lt 0\quad かつ\quad \frac{3}{4}k-3 \geqq 0 \\\\ すなわち\quad &0 \lt k \ かつ \ 4 \leqq k \quad \cdots \ ③ \end{align}$$
ただし③は条件を満たさないので不適。

Lukia_74

Lukia

「かつ」っていってるのに、数直線上の矢印がそっぽ向いてますからね。

以上を整理して、
$$\begin{align}k \neq 0\quad すなわち&a \neq -2\quad \cdots \ ① \\\\ 0 \lt k \leqq 4\quad すなわち&-2 \lt a \leqq 2\quad \cdots \ ②\\\\ \\\\ ゆえに\quad &-2 \lt a \leqq 2 \end{align}$$

こたえ


$$-2 \lt a \leqq 2$$

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