高校数学の「絶対値を含んだ式の値域を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年11月30日数と式実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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問題
\( \ y=-\vert x-2 \vert+3 \ \) \( \ \left( -1 \leqq x \leqq 3\right) \ \)の値域を求めよ。

まずは式を求めよう

ⅰ)\( \ 2 \leqq x \ \)のとき
$$\begin{align}y=&-\left( x-2\right)+3 \\\\ =&-x+5 \end{align}$$ ⅱ)\( \ x \lt 2 \ \)のとき
$$\begin{align}y=&-\left( -x+2\right)+3 \\\\ =&x+1 \end{align}$$

定義域を対応させて値域を求める

ⅰ),ⅱ)より
定義域\( \ \left( -1 \leqq x \leqq 3\right) \ \)は、
新たに
ⅰ)
定義域\( \ \left( 2 \leqq x \leqq 3\right) \ \)と
ⅱ)
定義域\( \ \left( -1 \leqq x \lt 2\right) \ \)に分けられる。


ⅰ)
$$\begin{align}2 \leqq &x \leqq 3 \\\\ -3 \leqq &-x \leqq -2 \\\\ 5-3 \leqq &-x+5 \leqq 5-2\\\\ 2 \leqq &-x+5 \leqq 3 \end{align}$$
ⅱ)
$$\begin{align}-1 \leqq &x \lt 2 \\\\ 1-1 \leqq &x+1 \lt 2+1 \\\\ 0 \leqq &x+1 \lt 3 \end{align}$$ 以上より、求める値域は
\( \ \left( 0 \leqq y \leqq 3\right) \ \)

式変形だけで値域を求める

$$\begin{align}-1 \leqq &x \leqq 3 \\\\ -1-2 \leqq &x-2 \leqq 3-2 \\\\ -3 \leqq &x-2 \leqq 1\\\\ 0 \leqq &\vert x-2 \vert \leqq 3\\\\ -3 \leqq &-\vert x-2 \vert \leqq 0\\\\ 3-3 \leqq &-\vert x-2 \vert+3 \leqq 3\\\\ 0 \leqq &y \leqq 3 \end{align}$$

こたえ

$$0 \leqq y \leqq 3$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74