高校数学の「絶対値を含んだ式の値域を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 絶対値を含んだ式の値域を求める , 定義域 , 値域 , 数学検定準2級

問題

problem

 

\( \ y=-\vert x-2 \vert+3\quad \left( -1 \leqq x \leqq 3\right) \ \)の値域を求めよ。

まずは式を求めよう


$$\begin{align}\color{#00ff00}{2} \leqq x&\quad のとき\\ y=&-\left( \color{#f700ca}{x-2}\right)+3 \\ y=&-x+5 \quad \cdots\quad ⅰ\end{align}$$

$$\begin{align}x \leqq \color{#00ff00}{2}&\quad のとき\\ y=&-\left( \color{#0004fc}{-x+2}\right)+3 \\ y=&x+1\quad \cdots\quad ⅱ\end{align}$$

定義域を対応させて値域を求める

$$\begin{align}ⅰ&\quad y=-x+5\quad \left( \color{#00ff00}{2} \leqq x \leqq 3\right) \\ &-2 \leqq x \leqq -3 \\ &-3+5 \leqq -x+5 \leqq -2+5 \\ &2 \leqq -x+5 \leqq 3 \end{align}$$

$$\begin{align}ⅱ&\quad y=x+1\quad \left( -1 \leqq x \leqq \color{#00ff00}{2}\right) \\ &-1 \leqq x \leqq \color{#00ff00}{2} \\ &-1+1 \leqq x+1 \leqq 2+1\\ &0 \leqq x+1 \leqq 3 \end{align}$$

ⅰとⅱより 求める値域は
$$0 \leqq y \leqq 3$$

式変形だけで値域を求める

$$\begin{align}-1 \leqq &x \leqq 3 \\ -1-2 \leqq &x-2 \leqq 3-2 \\ -3 \leqq &x-2 \leqq 1\\ 0 \leqq &\vert x-2 \vert \leqq 3\\ -3 \leqq &-\vert x-2 \vert \leqq 0\\ -3+3 \leqq &-\vert x-2 \vert+3 \leqq 3\\ 0 \leqq &y \leqq 3 \end{align}$$

こたえ

$$0 \leqq y \leqq 3$$

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