Yahoo!知恵袋に載っていた高校数学の三角方程式を解いてみた。

2018年9月18日図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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次の方程式を解け。
\(\Large 2\sin \theta-\tan \theta-2\cos \theta+1=0\)
\(\Large \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right)\)

タンジェントを別の表現にする。

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Lukia

この問題を見たとき、
範囲が\( \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right)\) と設定してあることで、
\(\sin \left( x\frac{ \pi }{ 2 }-\theta\right)=\cos \theta\) などが使えるんじゃないかな。と思いました。
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)を用いれば、式を、\(\sin \thetaと\cos \theta\)だけで表現できるので、
まずは、そこからやってみることにしました。

$$\begin{align}2\sin \theta-\tan \theta-2\cos \theta+1=&0 \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right) \\ 2\sin \theta-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-2\cos \theta+1=&0 \\ \sin \theta\left( 2-\frac{1}{\cos \theta}\right)-2\cos \theta+1=&0 \end{align}$$

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Lukia

ここで、式の後半の2項を\(\cos \theta\)でもくくれたらいいのになぁ。と思いました。
そこで大事になってくるのが、
「\(\cos \theta\)が0じゃないか」疑惑を晴らしておかねばなりません。
0では割れないからです。

θ(シータ)の範囲が効いてくる。


$$\begin{align}ここで、&0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 } より、 \\ &0 \lt \cos \theta \lt 1 \\ &(すなわち、\cos \theta \neq 0)であるから、 \end{align}$$
$$\begin{align}\sin \theta\left( 2-\frac{1}{\cos \theta}\right)-\cos \theta\left( 2-\frac{1}{\cos \theta}\right)=&0 \\ \left( \sin \theta-\cos \theta\right)\left( 2-\frac{1}{\cos \theta}\right)=&0 \\ ゆえに、\sin \theta-\cos \theta=&0\\ または、2-\frac{1}{\cos \theta}=&0 \end{align}$$

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Lukia

かけ算の結果0(ゼロ)になるということは、
少なくとも、どっちかが0になるということですから、「または」という表現を使っています。

範囲に対応した答えを求める。

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Lukia

\(0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\) において、
\(\sin \theta-\cos \theta=0\)
または、\(2-\frac{1}{\cos \theta}=0\) を満たす\(\theta\) を求めていきます。

$$\begin{align}\sin \theta-\cos \theta=&0 \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right) \\ \sin \theta=&\cos \theta \\ \theta=&\frac{ \pi }{ 4 } \end{align}$$
$$\begin{align}2-\frac{1}{\cos \theta}=&0 \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right) \\ \cos \theta=&\frac{1}{2} \\ \theta=&\frac{ \pi }{ 3 } \end{align}$$
$$\Large \theta=\frac{ \pi }{ 4 } , \theta=\frac{ \pi }{ 3 }$$

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Posted by Lukia_74