Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「置換積分」に関する問題を解いてみる。

2018年9月30日2023年1月15日積分とその応用実用数学技能検定（数学検定数検),数検準1級

読了時間: 約1分47秒

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問題

\int_{0}^{3} x^{2} \sqrt{9 - x^{2}} d x

を計算せよ。

解法

$\begin{aligned} x = & 3 \sin θ とする。 \\ 両辺を x & で微分すると、 \\ 1 = & 3 \cos θ \cdot \frac{d θ}{d x} \\ d x = & 3 \cos θ \cdot d θ \end{aligned}$

$x$	$0$	→	$3$
$θ$	$0$	→	$\frac{π}{2}$

$\begin{aligned} 与式 = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} 9 \sin^{2} θ \sqrt{9 - 9 \sin^{2} θ} 3 \cos θ \cdot d θ \\ = & 81 \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin θ \cos θ)}^{2} d θ \\ = & 81 \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{2 \sin θ \cos θ}{2})}^{2} d θ \\ = & \frac{81}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin 2 θ)}^{2} d θ \\ = & \frac{81}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} 2 θ d θ \\ = & \frac{81}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos 4 θ}{2} d θ \\ = & \frac{81}{8} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos 4 θ) d θ \\ = & \frac{81}{8} {[θ - \frac{1}{4} \sin 4 θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = & \frac{81}{8} \cdot \frac{π}{2} \\ = & \frac{81}{16} π \end{aligned}$

こたえ

$\frac{81}{16} π$

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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