高校数学の「二次関数が解をもつ条件・軌跡」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 二次関数 , 解をもつ範囲 , 数学検定準2級

問題

problem

 

\( \ a \ \)を定数とし,二次関数\( \ y=-2x^2+2\left( a-3\right)x+a^2 \ \)のグラフを\( \ \mathrm{C} \ \)とする。
このとき,次の問いに答えよ.
(1) グラフ\( \ \mathrm{C} \ \)が\( \ x \ \)軸上の\( \ x \lt 2 \ \)および\( \ 2 \lt x \ \)の部分に交点を1つずつもつとき,
\( \ a \ \)のとり得る値の範囲は,
\( \ a \lt -\color{#0004fc}{ア}-\color{#0004fc}{イ}\sqrt{\color{#0004fc}{ウ}} \ , \ -\color{#0004fc}{エ}+\color{#0004fc}{オ}\sqrt{\color{#0004fc}{カ}} \lt a \ \) である.(2) グラフ\( \ \mathrm{C} \ \)の頂点の座標は,\( \ \left( \frac{a-\color{#0004fc}{キ}}{\color{#0004fc}{ク}} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{ケ}a^2-\color{#0004fc}{コ}a+\color{#0004fc}{サ}}{\color{#0004fc}{シ}}\right) \ \) である.

(3) グラフ\( \ \mathrm{C} \ \)の頂点は\( \ a \ \)の値により変化し,ある放物線を描く.
その放物線の式を求めると,
\( \ y=\color{#0004fc}{ス}x^2+\color{#0004fc}{セソ}x+\color{#0004fc}{タ} \ \) となる.

わかっていることを視覚化してみる。

Lukia_74

Lukia

問題の形式からすると,大学入試センター試験対策の問題のようでもありますね。
虫食いになっていない部分から ある程度答えを絞り込めるのが、マーク式タイプの問題のいいところです。
Lukia_74

Lukia

問題文によって、グラフ\( \ \mathrm{C} \ \)に関する情報がある程度得られますね。
★ \( \ \mathrm{C} \ \)は上に凸の放物線である.
☆ 異なる2つの実数解をもつことから、\( \ \mathrm{C} \ \)の頂点の\( \ y \ \)座標は正である.
★ \( \ \mathrm{C} \ \)と\( \ x \ \)軸は、\( \ x \lt -2 \ \)または\( \ 2 \lt x \ \)の範囲で交わる.
Lukia_74

Lukia

そして、この情報をもとにグラフ\( \ \mathrm{C} \ \)の概形を描くと以下の図のようになります。

また、「概形(だいたいの形)」とことわっているように、
軸は、\( \ y \ \)軸で固定ではありません。
少なくとも\( \ -2 \lt 軸 \lt 2 \ \)を満たしていればいいことになります。

Lukia_74

Lukia

図にしたことで、さらにわかることがありますね。
\( \ \mathrm{C} \ \)を\( \ y=f\left( x\right) \ \)とおいたとき,
\( \ f\left( -2\right) \gt 0 \ \)かつ\( \ f\left( 2\right) \gt 0 \ \)ということです。

$$\begin{align}y=&f\left( x\right)\quad とおく. \\ グラフより,\quad f\left( -2\right) \gt &0\quad かつ\quad f\left( 2\right) \gt 0\quad であるので, \\ \\ f\left( -2\right)=&\left( a-2\right)^2 \gt 0\\ &a\quad は \ 2 \ 以外のすべての実数\quad \cdots\cdots\quad ①\\ \\ f\left( 2\right)=&\left( a+2\right)^2-24 \gt 0\\ &-2-2\sqrt{6} \lt a \ , \ -2+2\sqrt{6} \lt a\quad \cdots\cdots\quad ②\\ \\ ① \ , \ ② \ より&a \lt -\color{#0004fc}{2}-\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{6}} \ , \ -\color{#0004fc}{2}+\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{6}} \lt a \end{align}$$

頂点の座標は機械的に求められるようにしておこう。

$$\begin{align}二次関数\quad &y=\color{red}{a}x^2+\color{#0004fc}{b}x+\color{#00ff00}{c}\quad の頂点の座標は \\\\ &\left( \quad \frac{\color{#0004fc}{b}}{-2\color{red}{a}}\quad ,\quad \frac{\color{#0004fc}{b^2}}{-4\color{red}{a}}+\color{#00ff00}{c}\quad \right) \end{align}$$

$$\left( \frac{a-\color{#0004fc}{3}}{\color{#0004fc}{2}} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{3}a^2-\color{#0004fc}{6}a+\color{#0004fc}{9}}{\color{#0004fc}{2}}\right)$$

頂点の軌跡を求める。

$$\begin{align}グラフ\mathrm{C}の&頂点の座標は \\ \left( x \ , \ y\right)=&\left( \frac{a-3}{2} \ , \ \frac{3a^2-6a+9}{2}\right) \\ \\ 2x=&a-3\quad すなわち\quad a=2x+3\\ y=&\frac{3}{2}\left( a^2-2a+3\right)=\frac{3}{2}\lbrace \left( a-1\right)^2+2\rbrace\\ =&\frac{3}{2}\lbrace \left( 2x+3-1\right)^2+2\rbrace=\frac{3}{2}\left( 2x+2\right)^2+3\\ =&\frac{3}{2}\cdot 2^2\left( x+1\right)^2+3\\ =&6\left( x+1\right)^2+3=\color{#0004fc}{6}x^2+\color{#0004fc}{12}x+\color{#0004fc}{9} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &a \lt -\color{#0004fc}{2}-\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{6}} \ , \ -\color{#0004fc}{2}+\color{#0004fc}{2}\sqrt{\color{#0004fc}{6}} \lt a \\ \\\left( 2\right)\quad &\left( \frac{a-\color{#0004fc}{3}}{\color{#0004fc}{2}} \ , \ \frac{\color{#0004fc}{3}a^2-\color{#0004fc}{6}a+\color{#0004fc}{9}}{\color{#0004fc}{2}}\right) \\ \\ \left( 3\right)\quad &y=\color{#0004fc}{6}x^2+\color{#0004fc}{12}x+\color{#0004fc}{9} \end{align}$$

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