高校数学の「三角関数の一次化と合成」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年5月29日2020年8月4日三角関数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定2級

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KEYWORDS

高校数学 , 三角関数の一次化と合成 , 2倍角の公式 , 関数の合成 , trigonometric functions , Function composition , 数学検定2級

Contents

1. 問題
2. 解法
- 2.1. 2乗をなくして一次化します
- 2.2. グラフを描いてみる。
3. こたえ

問題

\( \ y=3\sin ^2\theta+4\sin \theta\cos \theta-\cos ^2\theta\ \)を一次化し、グラフを示せ。
ただし\( \ \quad 0 \leq \theta \lt 2\pi\quad \ \)とする。

解法

2乗をなくして一次化します

Lukia

2倍角の公式を利用して一次化（\( \ \cos \theta \ \)や\( \ \sin \theta \ \)に直すこと）します。三角関数には、覚えるべき公式がたくさんあるので、なるべく楽ができればいいですね。

\( \ \begin{align}y=&3\sin ^2\theta+4\sin \theta\cos \theta-\cos ^2\theta \\\\ =&3\sin ^2\theta+4\sin \theta\cos \theta-\cos ^2\theta+3\cos ^2\theta-3\cos ^2\theta \\\\ =&3+2\cdot 2\sin \theta\cos \theta-\cos ^2\theta-3\cos ^2\theta \\\\ =&3+2\sin 2\theta-4\cos ^2\theta\\\\ =&3+2\sin 2\theta-2\left( 2\cos ^2\theta-1+1\right)\\\\ =&3+2\sin 2\theta-2\left( \cos 2\theta+1\right) \\\\ =&2\sin 2\theta-2\cos 2\theta+1 \end{align}\ \)

Lukia

プラスマイナスゼロになるように、かけて割って1になるようにすれば、計算が楽にできることがあります。

\( \ \begin{align}y=&2\sin 2\theta-2\cos 2\theta+1 \\\\ =&2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+1 \end{align} \ \)

\( \ \begin{align}0 \leq \theta \lt 2\pi\\\\ 0 \leq 2\theta \lt 4\pi\ \\\\ -\frac{ \pi }{ 4 } \leq 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 } \lt 4\pi-\frac{ \pi }{ 4 } \\\\ -1 \leq \sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)\leq 1\\\\-2\sqrt{2} \leq 2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)\leq 2\sqrt{2}\\\\-2\sqrt{2}+1 \leq 2\sqrt{2}\sin \left( 2\theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)+1\leq 2\sqrt{2} +1 \ \end{align} \ \)

グラフを描いてみる。

上の図は、与式のグラフをピンクで示し、\( \ y=\sin \theta\ \)を灰色で示しています。
紫の点線が与式の範囲に相当します。

与式は、\( \ y=\sin \theta\ \)を\( \ x\ \)軸方向に2倍し（ゆえに周期も2倍になります。動画や音楽の「2倍速再生」みたいなもんですね）、さらに\( \ x\ \)軸方向に\( \ \frac{ \pi }{ 4 } \ \)平行移動し、
\( \ y\ \)軸方向に\( \ 2\sqrt{2}\ \)倍します。

灰色のグラフよりも周期が短く、縦方向にも拡大されていますね。