中学数学の食塩水「とりだし」問題(その2)

2018年7月14日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検3級

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Lukia

さぁ、前回に引き続き、
「とりだし」問題を解いていきましょう。
ヒントとして、

を載せておきますね。
本当に、「とりだし」問題なのかどうかを確認してから、解くようにしましょうね。

問題

変わるもの、変わらないものを確認する。

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もも

もともとの食塩水の濃度は、10%で、
その食塩水から20g取り出したのですから、
10%の食塩水は、80g残っていることになります。
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Lukia

そうですね。
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もも

そして、その10%食塩水80gに、20gの水を加えるのですから、
新たにできる食塩水は、濃度はぱっとわからないけど、
重さは、100gになるわけですね。
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Lukia

そのとおりです。
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もも

濃度はわからないけど、食塩水80gに、水20gを加える。という操作を3回繰り返すわけだから・・・
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もも

これは、公式にあてはめてよさそうです!

公式にあてはめながら、式を立てる。

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Lukia

そうですか。
では、公式を見ながら、式を立ててみてください。
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もも

はい。
「求める濃度」を \(\Large x\) とし、
「最初の濃度」は \(\Large 10\) 、
「もとの食塩水の重さ」は、 \(\Large 80\) 、
「新しい食塩水の重さ」は、 \(\Large 100\) 、
操作の回数は、 \(\Large 3\) だから・・・
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もも

$$\Large \frac{x}{100}=\frac{10}{100}\times \left( \frac{80}{100}\right)^3$$となります。

計算して、こたえを求める。

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Lukia

それでは、式を計算して、こたえをもとめていきましょう。

$$\Large \frac{x}{100}=\frac{10}{100}\times \left( \frac{80}{100}\right)^3$$
約分する。
$$\Large \frac{x}{100}=\frac{10}{100}\times \left( \frac{4}{5}\right)^3$$
両辺の分母の100をはらい、累乗をかけ算に直す。
$$\Large x=10\times \frac{4\times 4\times 4}{5\times 5\times 5}=\frac{2\times 4\times 4\times 4}{5\times 5}$$
分子・分母に4をかける。
$$\Large x=\frac{2\times 4\times 4\times 4}{5\times 5}\times \frac{4}{4}=\frac{2\times 4\times 4\times 4\times 4}{100}$$

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Lukia

ここで、\(\Large 4=2^2\) であり、
\(\Large 2\times 4\times 4\times 4\times 4=2\times 2^2\times 2^2\times 2^2\times 2^2\) です。
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Lukia

さらに、
\(\Large 2\times 2^2\times 2^2\times 2^2\times 2^2=2^\left( 1+2+2+2+2\right)=2^9\) です。
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Lukia

ここで、\(\Large 2^{10}=1024\) を変形させてこたえを求めます。
\(\Large 2^{10}=2^\left( 9+1\right)=2^9\times 2\) なので、
\(\Large 2^9=2^{10}\times \frac{1}{2}=1024\times \frac{1}{2}=512\) となります。

つまり、
$$\Large x=\frac{512}{100}=5.12$$

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Lukia

最終的に食塩水の濃度は、5.12 %になります。

おわりに

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Lukia

いかがでしたか。
「公式化」していなければ、表を3回描いて、3つ式をたて、計算していかなければなりませんでした。
それが、変わる部分、変わらない部部分をきっちり確認するだけで、短い式を一つ立て、
計算するだけで済むわけです。
それでは、再度問題とこたえを載せておわりにしましょう。

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