複利の借金を定額で返済するのにかかる年数を求める問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

指数と対数,数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

年利5%で100万円を借り、
ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返すとき、
何年後に返し終わるか。

ただし、一年ごとの複利で計算し、
\( \ \log_{10}1.05=0.0212 \ \)
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) とする。

解法

100万円を\( \ \mathrm{G} \ \),年利\( \ 1.05 \ \)を\( \ r \ \),10万円を\( \ g \ \)とする。
特に\( \ \mathrm{G}=g^2 \ \)とも表せる。
また、100万円を借りて\( \ n \ \)年後の返済額を\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)とする。

100万円を借りてちょうど1年後の返済額\( \ \lbrace a_1\rbrace \ \)は、
\( \ a_1=\mathrm{G}r-g \ \) と表せる。

同様に2年後の返済額\( \ \lbrace a_2\rbrace \ \)は、
\( \ a_2=\left( \mathrm{G}r-g\right)r-g=\mathrm{G}r^2-gr-g \ \)

さらに3年後の返済額\( \ \lbrace a_3\rbrace \ \)は、
\( \ a_3=\left( \mathrm{G}r^2-gr-g\right)r-g=\mathrm{G}r^3-gr^2-gr-g \ \)

以上より、\( \ n \ \)年後の返済額\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)は、
\( \ a_n=\mathrm{G}r^n-gr^{n-1}\cdots-gr-g \ \) と推定できる。

以下、\( \ a_n \leq 0 \ \)を満たす\( \ n \ \)を求める。
$$\begin{align}\mathrm{G}r^n-gr^{n-1}\cdots-gr-g \leq &0 \\\\ \mathrm{G}r^n\leq &gr^{n-1}+\cdots+gr+g \\\\ \mathrm{G}r^n\leq &\frac{gr^n-g}{r-1}\\\\ ここで、\mathrm{G}=&g^2\quad だから、\\\\ g^2r^n \leq &\frac{g\left( r^n-1\right)}{r-1} \\\\ r^n \leq &\frac{r^n-1}{g\left( r-1\right)} =\frac{r^n-1}{10\times \left( 1.05-1\right)} \\\\ r^n \leq &2r^n-2\\\\ r^n \geq &2\end{align}$$

\( \ r=1.05 \ \)を代入して\( \ n \ \)を求める。
$$\begin{align}r^n \geq &2 \\\\ \left( 1.05\right)^n \geq &2\\\\ 両辺の常用対数をとると \\\\ n\log_{10}1.05 \geq &\log_{10}2 \\\\ n \geq &\frac{0.3010}{0.0212} \\\\ n \geq &14.206\cdots \end{align}$$
\( \ 15 \ \)年後に返し終わる 

こたえ

\( \ 15 \ \)年後に返し終わる

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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