高校数学の「放物線の軸の存在範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

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放物線\(y=x^2+2ax+9\)の頂点が第2象限にあるとき、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。

まずは平方完成。

$$\begin{align}y=&x^2+2ax+9 \\ =&\left( x+a\right)^2-a^2+9\quad より, \\この放物線は&頂点が\left( -a \ , \ -a^2+9\right) \ にある下に凸の関数である. \end{align}$$

4つの象限

Lukia_74

Lukia

ここで、\(xy\)平面上に存在する4つの象限を確認しておきましょう。

Lukia_74

Lukia

上の図のように、\(x\)軸と\(y\)軸によって平面が4つに分けられます。
そして、右上を「第1象限」とし、以降は、(右上から)反時計回りに第2象限、第3象限、第4象限となります。
図より、「第2象限は\(x \lt 0 \ かつ \ y \gt 0\quad \)(\(x\)は負 かつ \(y\)は正)」
だとわかりますね。

象限と頂点の条件より定数aの範囲を求める。

$$\begin{align}頂点\left( -a \ , \ -a^2+9\right) \ は&第2象限にあるので \\ -a \lt &0\quad すなわち \ \color{red}{a \gt 0}\cdots① \\ \\ -a^2+9 \gt &0\\ a^2-9 \lt &0\\ \left( a-3\right)\left( a+3\right) \lt &0 \quad すなわち \ \color{#0004fc}{-3 \lt a \lt 3}\cdots② \end{align}$$

$$求める定数aの値の範囲は\quad 0 \lt a \lt 3$$

こたえ

$$0 \lt a \lt 3$$

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