高校数学の「二次関数の頂点」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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[mathjax]
問題
頂点の座標が\(\left( 1 , 9\right)\)で、\(x\)軸から切り取る線分の長さが\(6\)である放物線の方程式を求めよ。
解法
$$\begin{align}求める放物線の方程式を\quad y=a\left( x-1\right)^2+9\cdots★\quad とおく. \\\\頂点のy座標が \ 9 \gt 0 \ であるので, \\\\求める放物線は\color{#0004fc}{上に凸} \ である.\\\\ ゆえに \ a \lt 0 \ である. \end{align}$$
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Lukia
頂点が\(x\)軸のはるか上にありますからね。
下の図のような、下に凸の放物線はありえませんよね。
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAASwAAAEsAQMAAABDsxw2AAAAA1BMVEUAAACnej3aAAAAAXRSTlMAQObYZgAAACJJREFUGBntwTEBAAAAwiD7p14KP2AAAAAAAAAAAAAAANwELbQAAZOJhkQAAAAASUVORK5CYII=)
下の図のような、下に凸の放物線はありえませんよね。
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$$\begin{align}&また, \ 放物線がx軸から切り取る長さが6 \ ということから,\\\\&放物線は \ \left( -2 \ , \ 0\right) \ , \ \left( 4 \ , \ 0\right) \ を通るとわかる. \\\\ &★に \ \left( -2 \ , \ 0\right) \ を代入して,\\\\ &0=a\left( -2-1\right)^2+9\\\\ &9a=-9\\\\ &a=-1\end{align}$$
$$\begin{align}ゆえに,&求める放物線の方程式は \\\\ y=&-\left( x-1\right)^2+9 \\\\ y=&-x^2+2x+8 \end{align}$$
こたえ
$$y=-x^2+2x+8$$
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