高校数学の「二次関数の頂点」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

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頂点の座標が\(\left( 1 , 9\right)\)で、\(x\)軸から切り取る線分の長さが\(6\)である放物線の方程式を求めよ。

解法

$$\begin{align}求める放物線の方程式を\quad y=a\left( x-1\right)^2+9\cdots★\quad とおく. \\頂点のy座標が \ 9 \gt 0 \ であるので, 求める放物線は\color{#0004fc}{上に凸} \ である.\\ ゆえに \ a \lt 0 \ である. \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

頂点が\(x\)軸のはるか上にありますからね。
下の図のような、下に凸の放物線はありえませんよね。


$$\begin{align}&また, \ 放物線がx軸から切り取る長さが6 \ ということから,\\&放物線は \ \left( -2 \ , \ 0\right) \ , \ \left( 4 \ , \ 0\right) \ を通るとわかる. \\ &★に \ \left( -2 \ , \ 0\right) \ を代入して,\\ \\ &0=a\left( -2-1\right)^2+9\\ &9a=-9\\ &a=-1\end{align}$$
$$\begin{align}ゆえに,&求める放物線の方程式は \\ y=&-\left( x-1\right)^2+9 \\ \\ y=&-x^2+2x+8 \end{align}$$

こたえ

$$y=-x^2+2x+8$$

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