Yahoo!知恵袋で見つけた高校数学の「回転体の体積」を求めてみる。

2018年9月19日数学検定準1級, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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2曲線 \(y=4^x \left( x \geqq 0\right)\)と\(y=8^x \left( x \geqq 0\right)\) と直線\(x=1\)に囲まれた部分を\(\mathrm{D}\)とする。\(\mathrm{D}\)を\(x\)軸の周りに1回転してできる回転体の体積および、\(\mathrm{D}\)を\(y\)軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

まず、こんな図。

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Lukia

\(y=4^x\)を青い曲線で示し、
\(y=8^x\)を赤い曲線で示し、
\(x=1\)を緑の直線で示します。

$$x軸回転$$

まずは、V1

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Lukia

\(x\)軸回転は、まず、赤い曲線の一部分\(\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)\)を\(x\)軸を中心にして、ぐるっと一周させます。
すると、盃のような形ができます。
盃は、中がくぼんでいるので、飲み物を入れることができますが、\(x=1\)という、直線でスパン!と切られているので、盃というよりは、お皿というほうがいいかもしれませんね。
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Lukia

きれいな円・ぺらっぺらでむこうが透けて見えるような円をこまめに積み重ねていくイメージを式に表します。
この赤い曲線と\(x=1\)によってできる回転体の体積を、\(\color{red}{V_1}\)とします。

$$\Large \color{red}{V_1}=\pi\int_{0}^{1} \left( 4^x\right)^2 dx$$


次にV2

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Lukia

次に、青い曲線の一部分\(\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)\)を\(x\)軸を中心に一回転させます。
すると、下の図のように、水色で塗りつぶされている範囲ができます。
今回求めるのは、赤と青の曲線と、緑の直線で囲まれた部分ですから、ピンクで塗りつぶした部分を回転させることになります。
(水色の部分は、いらないので、削り取ります。)
これまでは、お皿のような状態でしたが、水色の部分が削り取られることで、じょうごのような形になります。
バウムクーヘンでもいいですが、食べるところは極端に少なくなりそうですね。(笑)

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Lukia

青い曲線と緑の直線によってできる回転体の体積を、\(\color{blue}{V_2}\)とします。

$$\Large \color{blue}{V_2}=\pi\int_{0}^{1} \left( 4^x\right)^2 dx$$

いよいよVを求める。

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Lukia

求める体積を\(V\)とすると、
\(\Large V=\color{red}{V_1}-\color{blue}{V_2}\)
によって求められるので、

$$\begin{align}V&=\color{red}{V_1}-\color{blue}{V_2} \\ &=\pi\int_{0}^{1}\left( \left( 8^x\right)^2-\left( 4^x\right)^2\right) dx \\ &=\pi\int_{0}^{1}\left( 2^\left( 6x\right)-2^\left( 4x\right)\right) dx \\ &=\pi\int_{0}^{1}\left( \left( 2^x\right)^6-\left( 2^x\right)^4\right) dx \end{align}$$

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Lukia

ここで、\(\Large 2^x=t\)とします。
\(x=\log_{2}t=\frac{1}{\log 2}\log t\)
これを\(x\)について微分します。

$$\begin{align}x&=\frac{1}{\log 2}\log t をxについて微分する。 \\ 1&=\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{1}{t}\frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } x } \\整理して、 dx&=\frac{1}{\log 2}\cdot \frac{1}{t}dt \end{align}$$

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Lukia

\(x\)から\(t\)に置き換えたので、式もそれに合うように直していきます。

$$\begin{align}V&=\pi\int_{1}^{2} \left( t^6-t^4\right)\cdot \frac{1}{\log 2}\cdot \frac{1}{t} dt \\ &=\frac{\pi}{\log 2}\int_{1}^{2} \left( t^6-t^4\right)\cdot \frac{1}{t} dt \\ &=\frac{\pi}{\log 2}\int_{1}^{2} \left( t^5-t^3\right)dt\\ &=\frac{\pi}{\log 2}\left[\frac{1}{6}t^6-\frac{1}{4}t^4\right]_{1}^{2}\\ &=\frac{\pi}{\log 2}\lbrace \frac{1}{6}\left(64-1 \right)-\frac{1}{4}\left( 16-1\right)\rbrace \\ &=\frac{\pi}{\log 2}\left( \frac{21}{2}-\frac{15}{4}\right)\\ &=\frac{\pi}{\log 2}\cdot \frac{27}{4}\\ &=\frac{27\pi}{4\log 2} \end{align}$$

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Lukia

ゆえに、$$\Large V=\frac{27\pi}{4\log 2}$$

$$y軸回転$$

式や定義域・値域をとらえなおす。

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Lukia

これまでは、\(y=f\left( x\right)\)という式でしたが、
これを\(x=f\left( y\right)\) という形に直していきます。定義域や値域も入れ替わりますね。
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Lukia

\(\Large \color{red}{y=8^x }\) は、
定義域が\(\Large \color{red}{\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)}\)であり、
値域は、\(\Large \color{red}{\left( 1 \leqq y \leqq 8\right)}\)でしたが、
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\(\Large \color{red}{x=\log_{8}y}\)
定義域が\(\Large \color{red}{\left( 1 \leqq y \leqq 8\right)}\)
値域は、\(\Large \color{red}{\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)}\)となります。
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同様に、\(\Large \color{blue}{y=4^x}\)は、
定義域が\(\Large \color{blue}{\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)}\)であり、
値域は、\(\Large \color{blue}{\left( 1 \leqq y \leqq 4\right)}\)でしたが、
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\(\Large \color{blue}{x=\log_{4}y}\)
定義域が\(\Large \color{blue}{\left( 1 \leqq y \leqq 4\right)}\)
値域は、\(\Large \color{blue}{\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)}\)となります。

図からすると・・・


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Lukia

\(y\)軸回転ということは、上の図の濃い紫と緑で塗られた部分を\(y\)軸を中心にして一回転させることになります。
\(x\)軸回転のときは、赤い曲線も、青い曲線も定義域が\(\left( 0 \leqq x \leqq 1\right)\)であったため、インテグラルも一つでよかったのですが、
今回は、定義域が異なっていますね。
また、\(\left( 1 \leqq y \leqq 4\right)\) までは、赤い曲線と青い曲線によって、緑の部分が囲まれていますが、
\(\left( 4 \leqq y \leqq 8\right)\) に関しては、赤い曲線と緑直線によって、濃い紫の部分が囲まれています。
というわけで、二段階に分けて、回転体の体積を求めていきます。

式を立てる。


$$\begin{align}&求める回転体の体積をVとする。\\ \frac{V}{\pi}&= \int_{1}^{4} \left( \left( log_{4}y\right)^2-\left( \log_{8}y\right)^2\right) dy+\int_{4}^{8} \left( 1^2-\left( \log_{8}y\right)^2\right) dy\\ &=\frac{5}{36}\int_{1}^{4} \left( \frac{\log y}{\log 2}\right)^2 dy +\int_{4}^{8} 1-\frac{1}{9}\left( \frac{\log y}{\log 2}\right)^2 dy \\ &=\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2} \int_{1}^{4} \left( \log y\right)^2 dy+\int_{4}^{8} 1 dy-\frac{1}{9\left( \log y\right)^2}\int_{4}^{8} \left( \log y\right)^2 dy\end{align}$$

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Lukia

ここで、\(\Large \log y=t\) とする。
両辺を\(y\)について微分すると、
\(\Large \frac{1}{y}=\frac{ \mathrm{ d } t }{ \mathrm{ d } y }\) より、
\(\Large dy=y dt\)

また、\(\Large y=e^t\)より、
\(\Large dy=e^t dt\) である。

$$\begin{align}与式&=\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2} \int_{0}^{\log 4} t^2\cdot e^t dt+4-\frac{1}{9\left( \log 2\right)^2}\int_{\log 4}^{\log 8} t^2\cdot e^t dt\end{align}$$

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Lukia

ここで、\(f\left( t\right)=e^t\left( t^2-2t+2\right)\)の原関数を\(\Large F\left( t\right)\) とする。

$$\begin{align}与式&=\color{red}{\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2}\lbrace F\left( \log 4\right)-F\left( 0\right)\rbrace} +4-\color{blue}{\frac{4}{36\left( \log 2\right)^2}\lbrace F\left( \log 8\right)-F\left( \log 4\right)\rbrace}\\ &=\color{magenta}{\frac{9}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( \log 4\right)} +4\color{red}{-\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( 0\right)}\color{blue}{-\frac{4}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( \log 8\right)} \\ &=\color{magenta}{\frac{9}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( 2\log 2\right)} +4\color{red}{-\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( 0\right)}\color{blue}{-\frac{4}{36\left( \log 2\right)^2}F\left( 3\log 2\right)} \end{align}$$

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Lukia

ここで、
\(\Large F\left( t\right)=\int t^2\cdot e^t dt=e^t\left( t^2-2t+2\right)+C\)
(\(C\)は積分定数) だから、

$$\begin{align}与式&=\color{magenta}{\frac{9}{36\left( \log 2\right)^2}e^\left( \log 4\right)\lbrace \left( 2\log 2\right)^2-4\log 2+2\rbrace} +4\\ & \color{red}{-\frac{5}{36\left( \log 2\right)^2}e^0\cdot 2}\color{blue}{-\frac{4}{36\left( \log 2\right)^2}e^\left( \log 8\right)\lbrace \left( 3\log 2\right)^2-6\log 2+2\rbrace} \end{align}$$

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Lukia

ここで、
\(\Large e^\left( \log \alpha\right)=\alpha\) より

$$\begin{align}与式&=\color{magenta}{\frac{1}{\left( \log 2\right)^2}\lbrace 4\left( \log 2\right)^2-4\log 2+2\rbrace}+4\\ & \color{red}{-\frac{10}{36\left( \log 2\right)^2}} \color{blue}{-\frac{32}{36\left( \log 2\right)^2}\lbrace 9\left( \log 2\right)^2-6\log 2+2\rbrace}\\ &=\color{magenta}{4-\frac{4}{\log 2}+\frac{2}{\left( \log 2\right)^2}}+4\\ & \color{red}{-\frac{5}{18\left( \log 2\right)^2}} \color{blue}{-8+\frac{16}{3\log 2}-\frac{16}{9\left( \log 2\right)^2}}\\ &=\frac{1}{\log 2}\left( -4+\frac{16}{3}\right) +\frac{1}{\left( \log 2\right)^2}\left( 2-\frac{5}{18}-\frac{16}{9}\right)\\ &=\frac{1}{\log 2} \cdot \frac{4}{3}+\frac{1}{\left( \log 2\right)^2}\cdot \left( -\frac{1}{18}\right) \\ &=\frac{24\log 2-1}{\left( \log 2\right)^2} \end{align}$$
$$\Large ゆえに、V=\frac{\left( 24\log 2-1\right)\pi}{\left( \log 2\right)^2}$$

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Lukia

こたえがすごいことになってしまったので、
値そのものには、ちょっと自信がありません。
(うっかりミスをやらかすもので・・・)

Dという形は同じなのに・・・

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Lukia

青い曲線、赤い曲線、緑の直線で囲まれた領域Dという形は同じものなのに、
回転させるのが、\(x\)軸なのか、\(y\)軸なのかで、まったく値が変わってしまうんですね。
もし、これが入試問題として出たら、相当大変だろうと思います。
スピーディで、正確な計算力と、長い計算を途中で不安にならず、しっかり集中力を保った状態でこなせる精神力が必要ですね。

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